Ejercicio resuelto de Campo magnético · Física · Navarra · 2025

En una determinada región del espacio hay un campo eléctrico $\mathbf{E}$ y otro magnético $\mathbf{B}$. Un electrón entra en dicha región con una velocidad $v={10}^5\text{ m/s}$, perpendicular a $\mathbf{B}$, y se observa que su velocidad no sufre variación.

a) (0.5 puntos) Explicar con un dibujo qué dirección y sentido tiene el campo $\mathbf{E}$ respecto a las direcciones de $\mathbf{B}$ y $\mathbf{v}$. Dibujar también las fuerzas que actúan sobre el electrón.
b) (0.5 puntos) ¿Cuál será el módulo del campo eléctrico si $B={10}^{-4}\text{ T}$?
c) (0.5 puntos) ¿Cuál es el trabajo que realiza la fuerza magnética?

Datos: $q_{e^{-}}=\mathrm{1,6}\cdot {10}^{-19}\text{ C}$; $m_{e^{-}}=\mathrm{9,1}\cdot {10}^{-31}\text{ kg}$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{(0.5}}\mathbf{\text{puntos)}}\mathbf{\text{Explicar}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{dibujo}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{direcci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{sentido}}\mathbf{\text{tiene}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{campo}}\mathbf{E}\mathbf{\text{respecto}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{direcciones}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{B}\mathbf{\text{y}}\mathbf{v}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{Dibujar}}\mathbf{\text{tambi}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{fuerzas}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{act}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{an}}\mathbf{\text{sobre}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{electr}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}$



Que la velocidad no sufra variación significa que no cambia ni en módulo ni en dirección, es decir, que la fuerza total sobre el electrón es nula:

${\vec{F}}_E+{\vec{F}}_B=\vec{0}$

$q\vec{E}+q(\vec{v}\times \vec{B})=\vec{0}\Rightarrow \vec{E}=-\vec{v}\times \vec{B}$

El producto vectorial $\vec{v}\times \vec{B}$ es perpendicular a los dos factores, así que $\vec{E}$ tiene que ser $\mathbf{\text{perpendicular}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{vez}}\mathbf{\text{a}}\vec{v}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{a}}\vec{B}$. Los tres vectores forman un triedro: si la velocidad es horizontal y el campo magnético entra en el papel, el campo eléctrico es vertical.

Sobre el electrón, la fuerza eléctrica ${\vec{F}}_E=q\vec{E}$ tiene sentido contrario a $\vec{E}$ por ser negativa la carga, y la fuerza magnética ${\vec{F}}_B$ es igual y opuesta a ella; su suma es cero y el electrón sigue en línea recta y con velocidad constante. Este montaje es el de un selector de velocidades.



Como $\vec{v}$ y $\vec{B}$ son perpendiculares, igualando los módulos de las dos fuerzas:

$\mathrm{\mid }q\mathrm{\mid }E=\mathrm{\mid }q\mathrm{\mid }vB\Rightarrow E=vB$

La carga se simplifica: la condición no depende de qué partícula atraviese el selector, solo de su velocidad.

$E={10}^5\cdot {10}^{-4}=10\text{ V/m}$

El campo eléctrico debe valer $10\text{ V/m}$.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{(0.5}}\mathbf{\text{puntos)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{trabajo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{realiza}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{fuerza}}\mathbf{\text{magn}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{tica?}}$

La fuerza magnética es en todo momento perpendicular a la velocidad, y por tanto al desplazamiento:

$W=\int {\vec{F}}_B\cdot d\vec{r}=\int F_{B}dr\cos {90}^{\circ }=0\text{ J}$

El trabajo de la fuerza magnética es $\mathbf{\text{siempre}}\mathbf{\text{nulo}}$, en este y en cualquier otro caso. Por eso una fuerza magnética nunca puede cambiar el módulo de la velocidad de una partícula ni su energía cinética: solo puede curvar su trayectoria.