Ejercicio resuelto de Óptica · Física · Cantabria · 2021

Se dispone de una lente delgada convergente de distancia focal en valor absoluto de 25 cm. Calcule, efectuando un trazado de rayos cualitativo:

a) La posición y altura de la imagen formada por la lente si un objeto de 5 cm de altura se encuentra situado delante de ella, a una distancia de 15 cm. [1 punto]

b) La posición y altura de la imagen formada por la lente si un objeto de 3 cm de altura se encuentra situado delante de ella, a una distancia de 35 cm. [1 punto]

c) La naturaleza (real/virtual, derecha/invertida, mayor/menor) de las imágenes formadas en los apartados a) y b). [0,5 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{posici}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{altura}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{imagen}}\mathbf{\text{formada}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{lente}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{objeto}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{5}}\mathbf{\text{cm}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{altura}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{encuentra}}\mathbf{\text{situado}}\mathbf{\text{delante}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{ella,}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{distancia}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{15}}\mathbf{\text{cm.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Se emplea el criterio de signos habitual, con el origen en el centro óptico y la luz viajando de izquierda a derecha, de modo que la abscisa del objeto es negativa. La lente es convergente:

$s=-15\text{ cm}{f}^{\mathrm{\prime }}=+25\text{ cm}$

Se aplica la ecuación de las lentes delgadas:

${\displaystyle \frac{1}{s^{\mathrm{\prime }}}}-{\displaystyle \frac{1}{s}}={\displaystyle \frac{1}{f^{\mathrm{\prime }}}}\Rightarrow {\displaystyle \frac{1}{s^{\mathrm{\prime }}}}={\displaystyle \frac{1}{25}}+{\displaystyle \frac{1}{-15}}={\displaystyle \frac{3-5}{75}}=-{\displaystyle \frac{2}{75}}$

$s^{\mathrm{\prime }}=-\mathrm{37,5}\text{ cm}$

El aumento lateral da la altura de la imagen:

$\beta ={\displaystyle \frac{s^{\mathrm{\prime }}}{s}}={\displaystyle \frac{-\mathrm{37,5}}{-15}}=\mathrm{2,5}\Rightarrow y^{\mathrm{\prime }}=\beta y=\mathrm{2,5}\cdot 5$

$y^{\mathrm{\prime }}=\mathrm{12,5}\text{ cm}$



$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{posici}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{altura}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{imagen}}\mathbf{\text{formada}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{lente}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{objeto}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{3}}\mathbf{\text{cm}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{altura}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{encuentra}}\mathbf{\text{situado}}\mathbf{\text{delante}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{ella,}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{distancia}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{35}}\mathbf{\text{cm.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Ahora el objeto está más allá del foco:

$s=-35\text{ cm}{f}^{\mathrm{\prime }}=+25\text{ cm}$

${\displaystyle \frac{1}{s^{\mathrm{\prime }}}}={\displaystyle \frac{1}{25}}+{\displaystyle \frac{1}{-35}}={\displaystyle \frac{7-5}{175}}={\displaystyle \frac{2}{175}}$

$s^{\mathrm{\prime }}=\mathrm{87,5}\text{ cm}$

$\beta ={\displaystyle \frac{\mathrm{87,5}}{-35}}=-\mathrm{2,5}\Rightarrow y^{\mathrm{\prime }}=-\mathrm{2,5}\cdot 3$

$y^{\mathrm{\prime }}=-\mathrm{7,5}\text{ cm}$



$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{naturaleza}}\mathbf{\text{(real/virtual,}}\mathbf{\text{derecha/invertida,}}\mathbf{\text{mayor/menor)}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{im}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{genes}}\mathbf{\text{formadas}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{apartados}}\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{b).}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

En el apartado a) resulta $s^{\mathrm{\prime }}=-\mathrm{37,5}\text{ cm}<0$: la imagen se forma en el mismo lado que el objeto, por el corte de las prolongaciones de los rayos refractados, así que es virtual. El aumento es positivo y mayor que uno, luego la imagen es derecha y mayor. Es el funcionamiento de la lupa, con el objeto dentro de la distancia focal.

En el apartado b) resulta $s^{\mathrm{\prime }}=\mathrm{87,5}\text{ cm}>0$: la imagen se forma al otro lado de la lente, por el corte de los propios rayos, así que es real y podría recogerse en una pantalla. El aumento es negativo y de valor absoluto mayor que uno, luego la imagen es invertida y mayor.

El signo del aumento distingue siempre entre derecha e invertida, y el de $s^{\mathrm{\prime }}$ entre virtual y real.