Ejercicio resuelto de Óptica · Física · Cantabria · 2022

Un haz de luz compuesto por dos rayos monocromáticos incide desde el aire con un ángulo respecto a la normal de 30° sobre la superficie inferior de un vidrio de 15 cm de espesor. El índice de refracción del vidrio para una de las ondas es $n_1=\mathrm{1,55}$, mientras que para la otra onda es $n_2=\mathrm{1,63}$.

a) Calcule la distancia entre los dos rayos a la salida del vidrio por su cara superior. [1,5 puntos]

b) Si la frecuencia de la luz del primer rayo es de $\mathrm{4,51}\cdot {10}^{14}\text{ Hz}$, calcule su longitud de onda en el interior del vidrio. [1 punto]

Datos: índice de refracción del aire, $n_{\text{aire}}=1$; velocidad de la luz en el vacío, $c=3\cdot {10}^8\text{ m}\mathrm{/}\text{s}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{distancia}}\mathbf{\text{entre}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{dos}}\mathbf{\text{rayos}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{salida}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{vidrio}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{cara}}\mathbf{\text{superior.}}\mathbf{\text{[1,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$



Los dos rayos entran juntos por el mismo punto, pero cada uno ve un índice de refracción distinto, así que se refractan con ángulos diferentes y se separan dentro del vidrio. Es lo que ocurre en la dispersión de la luz blanca por un prisma.

Se aplica la ley de Snell a cada uno de ellos:

$n_{\text{aire}}\sin {30}^{\circ }=n_1\sin {\widehat{r}}_1\Rightarrow \sin {\widehat{r}}_1={\displaystyle \frac{\mathrm{0,5}}{\mathrm{1,55}}}=\mathrm{0,3226}$

${\widehat{r}}_1={\mathrm{18,82}}^{\circ }$

$\sin {\widehat{r}}_2={\displaystyle \frac{\mathrm{0,5}}{\mathrm{1,63}}}=\mathrm{0,3067}\Rightarrow {\widehat{r}}_2={\mathrm{17,86}}^{\circ }$

Cada rayo avanza dentro del vidrio en línea recta, así que al recorrer los 15 cm de espesor se desplaza lateralmente:

$x_i=e\tan {\widehat{r}}_i$

$x_1=\mathrm{0,15}\cdot \tan {\mathrm{18,82}}^{\circ }=\mathrm{5,112}\cdot {10}^{-2}\text{ m}$

$x_2=\mathrm{0,15}\cdot \tan {\mathrm{17,86}}^{\circ }=\mathrm{4,834}\cdot {10}^{-2}\text{ m}$

La distancia entre los dos puntos de salida es la diferencia:

$\mathrm{\Delta }x=x_1-x_2=\mathrm{5,112}\cdot {10}^{-2}-\mathrm{4,834}\cdot {10}^{-2}$

$\mathrm{\Delta }x=\mathrm{2,78}\cdot {10}^{-3}\text{ m}=\mathrm{2,78}\text{ mm}$

Los dos rayos salen paralelos entre sí y paralelos al incidente, ya que las caras son paralelas y cada uno recupera su ángulo de ${30}^{\circ }$, pero separados $\mathrm{2,78}\text{ mm}$ sobre la cara superior.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{frecuencia}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{luz}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{primer}}\mathbf{\text{rayo}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{de}}\mathrm{<mrow><mn\; mathvariant="bold">4,51</mn><mo\; mathvariant="bold-italic">\cdot </mo><msup><mn\; mathvariant="bold">10</mn><mn\; mathvariant="bold">14</mn></msup><mtext> Hz</mtext></mrow>}\mathbf{\text{,}}\mathbf{\text{calcule}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{longitud}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{onda}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{interior}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{vidrio.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

La frecuencia no cambia al pasar de un medio a otro; lo que cambia es la velocidad, y con ella la longitud de onda.

$v_1={\displaystyle \frac{c}{n_1}}={\displaystyle \frac{3\cdot {10}^8}{\mathrm{1,55}}}=\mathrm{1,94}\cdot {10}^8\text{ m/s}$

${\lambda }_1={\displaystyle \frac{v_1}{f}}={\displaystyle \frac{\mathrm{1,935}\cdot {10}^8}{\mathrm{4,51}\cdot {10}^{14}}}$

${\lambda }_1=\mathrm{4,29}\cdot {10}^{-7}\text{ m}=429\text{ nm}$

En el aire ese mismo rayo tendría una longitud de onda de $665\text{ nm}$: al entrar en el vidrio se acorta en el factor $n_1$.