Ejercicio resuelto de Óptica · Física · Cantabria · 2022

Se dispone de una lente delgada convergente de distancia focal de 30 cm.

a) Calcule a qué distancia debe colocarse un objeto delante de la lente para que se forme una imagen virtual, derecha y tres veces mayor que el objeto. [1,5 puntos]

b) Especifique el rango de distancias en las que debe colocarse un objeto delante de la lente para que se forme una imagen real. [1 punto]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{distancia}}\mathbf{\text{debe}}\mathbf{\text{colocarse}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{objeto}}\mathbf{\text{delante}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{lente}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{forme}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{imagen}}\mathbf{\text{virtual,}}\mathbf{\text{derecha}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{tres}}\mathbf{\text{veces}}\mathbf{\text{mayor}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{objeto.}}\mathbf{\text{[1,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$










Se emplea el criterio de signos habitual, con el origen en el centro óptico y la luz viajando de izquierda a derecha:

${\displaystyle \frac{1}{s^{\mathrm{\prime }}}}-{\displaystyle \frac{1}{s}}={\displaystyle \frac{1}{f^{\mathrm{\prime }}}}\beta ={\displaystyle \frac{y^{\mathrm{\prime }}}{y}}={\displaystyle \frac{s^{\mathrm{\prime }}}{s}}$





Que la imagen sea derecha y tres veces mayor significa que el aumento lateral vale $+3$:

$\beta =+3\Rightarrow s^{\mathrm{\prime }}=3s$

Se sustituye en la ecuación de las lentes delgadas:

${\displaystyle \frac{1}{3s}}-{\displaystyle \frac{1}{s}}={\displaystyle \frac{1}{30}}\Rightarrow -{\displaystyle \frac{2}{3s}}={\displaystyle \frac{1}{30}}$

$s=-20\text{ cm}{s}^{\mathrm{\prime }}=3s=-60\text{ cm}$

El objeto debe colocarse a $20\text{ cm}$ delante de la lente, es decir, entre el foco objeto y la lente. Como $s^{\mathrm{\prime }}<0$, la imagen es en efecto virtual: se forma a $60\text{ cm}$ del mismo lado que el objeto.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Especifique}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{rango}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{distancias}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{debe}}\mathbf{\text{colocarse}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{objeto}}\mathbf{\text{delante}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{lente}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{forme}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{imagen}}\mathbf{\text{real.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Una imagen es real cuando se forma por el corte de los propios rayos refractados, lo que con este criterio de signos equivale a $s^{\mathrm{\prime }}>0$.

Se despeja $s^{\mathrm{\prime }}$ de la ecuación de las lentes:

${\displaystyle \frac{1}{s^{\mathrm{\prime }}}}={\displaystyle \frac{1}{f^{\mathrm{\prime }}}}+{\displaystyle \frac{1}{s}}={\displaystyle \frac{1}{30}}+{\displaystyle \frac{1}{s}}$

Para que $s^{\mathrm{\prime }}$ sea positivo, esa suma debe serlo también. Teniendo en cuenta que el objeto es real y por tanto $s<0$:

${\displaystyle \frac{1}{30}}+{\displaystyle \frac{1}{s}}>0\Rightarrow {\displaystyle \frac{1}{\mathrm{\mid }s\mathrm{\mid }}}<{\displaystyle \frac{1}{30}}\Rightarrow \mathrm{\mid }s\mathrm{\mid }>30\text{ cm}$

El objeto debe estar a más de $30\text{ cm}$ de la lente, es decir, más allá del foco objeto. Justo en el foco los rayos salen paralelos y la imagen se forma en el infinito; dentro del foco la imagen es virtual, como en el apartado anterior.