Ejercicio resuelto de Óptica · Física · Cantabria · 2023

Un rayo de luz monocromática, de 550 nm de longitud de onda, se propaga por el aire e incide sobre una lámina de vidrio de caras planas y paralelas, con ángulo de incidencia $\theta =30\mathrm{°}$ respecto a la normal. El rayo atraviesa la lámina y sale nuevamente al aire.

a) Calcule los ángulos de refracción a la entrada y a la salida de la lámina de vidrio, dibujando un esquema de la trayectoria seguida por el rayo durante el proceso. [1 punto]

b) Calcule la velocidad, longitud de onda y frecuencia de la luz en el aire y en el vidrio. [0,75 puntos]

c) Si el rayo luminoso se dirigiera desde el vidrio hacia el aire, ¿a partir de qué ángulo de incidencia se produciría la reflexión total? [0,75 puntos]

Datos: índice de refracción del aire, $n_{\text{aire}}=1$; índice de refracción del vidrio, $n_{\text{vidrio}}=\mathrm{1,5}$; velocidad de la luz en el vacío, $c=3\cdot {10}^8\text{ m}\mathrm{/}\text{s}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{los}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ngulos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{refracci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{entrada}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{salida}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{l}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{mina}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{vidrio,}}\mathbf{\text{dibujando}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{esquema}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{trayectoria}}\mathbf{\text{seguida}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{rayo}}\mathbf{\text{durante}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{proceso.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$










La ley de Snell relaciona los ángulos con la normal a cada cara:

$n_1\sin \widehat{\mathrm{ı}}=n_2\sin \widehat{r}$

Al pasar del aire al vidrio, más denso ópticamente, el rayo se acerca a la normal.





A la entrada de la lámina:

$n_{\text{aire}}\sin {30}^{\circ }=n_{\text{vidrio}}\sin \widehat{r}$

$\sin \widehat{r}={\displaystyle \frac{1\cdot \mathrm{0,5}}{\mathrm{1,5}}}=\mathrm{0,3333}\Rightarrow \widehat{r}={\mathrm{19,5}}^{\circ }$

A la salida el rayo incide sobre la segunda cara con ese mismo ángulo $\widehat{r}$, porque las dos caras son paralelas y la normal es la misma:

$n_{\text{vidrio}}\sin {\mathrm{19,5}}^{\circ }=n_{\text{aire}}\sin \widehat{r}{}^{\mathrm{\prime }}$

$\sin \widehat{r}{}^{\mathrm{\prime }}=\mathrm{1,5}\cdot \mathrm{0,3333}=\mathrm{0,5}\Rightarrow \widehat{r}{}^{\mathrm{\prime }}={30}^{\circ }$

El rayo sale de la lámina paralelo al incidente y con el mismo ángulo con el que entró; el único efecto de la lámina es un desplazamiento lateral.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{velocidad,}}\mathbf{\text{longitud}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{onda}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{frecuencia}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{luz}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{aire}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{vidrio.}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

La frecuencia la impone el foco emisor y no cambia al pasar de un medio a otro. En el aire la luz viaja prácticamente a la velocidad $c$:

$v_{\text{aire}}=3\cdot {10}^8\text{ m/s}{\lambda }_{\text{aire}}=550\text{ nm}$

$f={\displaystyle \frac{v_{\text{aire}}}{{\lambda }_{\text{aire}}}}={\displaystyle \frac{3\cdot {10}^8}{550\cdot {10}^{-9}}}=\mathrm{5,45}\cdot {10}^{14}\text{ Hz}$

En el vidrio la velocidad se reduce en un factor igual al índice de refracción:

$v_{\text{vidrio}}={\displaystyle \frac{c}{n}}={\displaystyle \frac{3\cdot {10}^8}{\mathrm{1,5}}}=2\cdot {10}^8\text{ m/s}$

Y como la frecuencia es la misma, la longitud de onda se reduce en la misma proporción:

${\lambda }_{\text{vidrio}}={\displaystyle \frac{v_{\text{vidrio}}}{f}}={\displaystyle \frac{{\lambda }_{\text{aire}}}{n}}={\displaystyle \frac{550}{\mathrm{1,5}}}$

${\lambda }_{\text{vidrio}}=367\text{ nm}$

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{rayo}}\mathbf{\text{luminoso}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{dirigiera}}\mathbf{\text{desde}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{vidrio}}\mathbf{\text{hacia}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{aire,}}\mathbf{\text{¿a}}\mathbf{\text{partir}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ngulo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{incidencia}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{producir}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{reflexi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{total?}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

El ángulo límite es aquel al que corresponde un ángulo de refracción de ${90}^{\circ }$, con el rayo refractado saliendo rasante a la superficie. Solo puede darse al pasar a un medio menos denso ópticamente, como aquí.

$n_{\text{vidrio}}\sin {\widehat{\mathrm{ı}}}_L=n_{\text{aire}}\sin {90}^{\circ }=1$

$\sin {\widehat{\mathrm{ı}}}_L={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{1,5}}}=\mathrm{0,6667}$

${\widehat{\mathrm{ı}}}_L={\mathrm{41,8}}^{\circ }$

A partir de ${\mathrm{41,8}}^{\circ }$ de incidencia no hay rayo refractado y toda la luz vuelve al vidrio: se produce la reflexión total.