Ejercicio resuelto de Física cuántica · Física · Cantabria · 2023

Cuando se incide sobre un material con luz monocromática de longitud de onda en el vacío $\lambda =550\text{ nm}$ se liberan electrones con un potencial de frenado de 0,4 V. Calcule:

a) El trabajo de extracción del metal. [1 punto]

b) El rango de longitudes de onda en que se produce efecto fotoeléctrico. [0,75 puntos]

c) La energía cinética máxima de los electrones al incidir con una longitud de onda de $\lambda =214\text{ nm}$. [0,75 puntos]

Datos: $1\text{ eV}=\mathrm{1,6}\cdot {10}^{-19}\text{ J}$; constante de Planck, $h=\mathrm{6,63}\cdot {10}^{-34}\text{ J}\cdot \text{s}$; velocidad de la luz en el vacío, $c=3\cdot {10}^8\text{ m}\mathrm{/}\text{s}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{trabajo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{extracci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{metal.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$



Según la explicación de Einstein del efecto fotoeléctrico, la energía del fotón incidente se reparte entre el trabajo de extracción y la energía cinética del electrón emitido:

$hf=W_0+E_{c,\max }$

Se calcula la energía del fotón a partir de su longitud de onda:

$E=h{\displaystyle \frac{c}{\lambda }}={\displaystyle \frac{\mathrm{6,63}\cdot {10}^{-34}\cdot 3\cdot {10}^8}{550\cdot {10}^{-9}}}=\mathrm{3,62}\cdot {10}^{-19}\text{ J}$

El potencial de frenado es el que detiene a los electrones más rápidos, de modo que mide su energía cinética máxima:

$E_{c,\max }=\mathrm{\mid }{q}_e\mathrm{\mid }{V}_0=\mathrm{1,6}\cdot {10}^{-19}\cdot \mathrm{0,4}=\mathrm{6,4}\cdot {10}^{-20}\text{ J}$

$W_0=E-E_{c,\max }=\mathrm{3,62}\cdot {10}^{-19}-\mathrm{0,64}\cdot {10}^{-19}$

$W_0=\mathrm{2,98}\cdot {10}^{-19}\text{ J}=\mathrm{1,86}\text{ eV}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{rango}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{longitudes}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{onda}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{produce}}\mathbf{\text{efecto}}\mathbf{\text{fotoel}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{ctrico.}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Hay emisión mientras la energía del fotón sea al menos el trabajo de extracción. El caso límite define la longitud de onda umbral:

$W_0=h{\displaystyle \frac{c}{{\lambda }_0}}\Rightarrow {\lambda }_0={\displaystyle \frac{hc}{W_0}}={\displaystyle \frac{\mathrm{6,63}\cdot {10}^{-34}\cdot 3\cdot {10}^8}{\mathrm{2,976}\cdot {10}^{-19}}}$

${\lambda }_0=\mathrm{6,68}\cdot {10}^{-7}\text{ m}=668\text{ nm}$

Como la energía del fotón crece al disminuir la longitud de onda, hay efecto fotoeléctrico para:

$\lambda <668\text{ nm}$



Se calcula la energía de los nuevos fotones:

$E^{\mathrm{\prime }}=h{\displaystyle \frac{c}{{\lambda }^{\mathrm{\prime }}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{6,63}\cdot {10}^{-34}\cdot 3\cdot {10}^8}{214\cdot {10}^{-9}}}=\mathrm{9,29}\cdot {10}^{-19}\text{ J}$

El trabajo de extracción es una propiedad del metal y no cambia al cambiar la luz, así que:

$E_{c,\max }=E^{\mathrm{\prime }}-W_0=\mathrm{9,29}\cdot {10}^{-19}-\mathrm{2,98}\cdot {10}^{-19}$

$E_{c,\max }=\mathrm{6,32}\cdot {10}^{-19}\text{ J}=\mathrm{3,95}\text{ eV}$