Ejercicio resuelto de Física cuántica · Física · Cantabria · 2021

Al iluminar un metal en un experimento con luz monocromática, se obtiene que el potencial de frenado es de $-\mathrm{1,39}\text{ V}$. La frecuencia umbral de ese metal es $\mathrm{4,52}\cdot {10}^{14}\text{ Hz}$. Calcule:

a) El trabajo de extracción. [0,5 puntos]

b) La velocidad máxima de los electrones emitidos. [1 punto]

c) La longitud de onda de la luz incidente. [1 punto]

Datos: constante de Planck, $h=\mathrm{6,63}\cdot {10}^{-34}\text{ J}\cdot \text{s}$; velocidad de la luz en el vacío, $c=3\cdot {10}^8\text{ m}\mathrm{/}\text{s}$; masa del electrón, $m_e=\mathrm{9,1}\cdot {10}^{-31}\text{ kg}$; carga del electrón, $q_e=-\mathrm{1,6}\cdot {10}^{-19}\text{ C}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{trabajo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{extracci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$










La frecuencia umbral es la mínima que ha de tener la radiación para arrancar electrones: la de los fotones cuya energía es justo el trabajo de extracción.

$W_0=h{f}_0$





$W_0=\mathrm{6,63}\cdot {10}^{-34}\cdot \mathrm{4,52}\cdot {10}^{14}$

$W_0=\mathrm{3,00}\cdot {10}^{-19}\text{ J}=\mathrm{1,87}\text{ eV}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{xima}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{electrones}}\mathbf{\text{emitidos.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

El potencial de frenado es el que hay que aplicar para detener a los electrones más rápidos, de modo que mide directamente su energía cinética máxima:

$E_{c,\max }=\mathrm{\mid }{q}_e\mathrm{\mid }\mathrm{\mid }{V}_0\mathrm{\mid }=\mathrm{1,6}\cdot {10}^{-19}\cdot \mathrm{1,39}=\mathrm{2,22}\cdot {10}^{-19}\text{ J}$

De ahí se despeja la velocidad:

$E_{c,\max }={\displaystyle \frac{1}{2}}{m}_e{v}^2\Rightarrow v=\sqrt{{\displaystyle \frac{2E_{c,\max }}{m_e}}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{2\cdot \mathrm{2,224}\cdot {10}^{-19}}{\mathrm{9,1}\cdot {10}^{-31}}}}$

$v=\mathrm{6,99}\cdot {10}^5\text{ m/s}$

Es una velocidad pequeña frente a la de la luz, así que no hace falta corregirla relativistamente.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{longitud}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{onda}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{luz}}\mathbf{\text{incidente.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Por la ecuación de Einstein del efecto fotoeléctrico, la energía del fotón es la suma del trabajo de extracción y la energía cinética máxima:

$E=W_0+E_{c,\max }=\mathrm{2,997}\cdot {10}^{-19}+\mathrm{2,224}\cdot {10}^{-19}=\mathrm{5,22}\cdot {10}^{-19}\text{ J}$

Y de esa energía se obtiene la longitud de onda:

$E=h{\displaystyle \frac{c}{\lambda }}\Rightarrow \lambda ={\displaystyle \frac{hc}{E}}={\displaystyle \frac{\mathrm{6,63}\cdot {10}^{-34}\cdot 3\cdot {10}^8}{\mathrm{5,221}\cdot {10}^{-19}}}$

$\lambda =\mathrm{3,81}\cdot {10}^{-7}\text{ m}=381\text{ nm}$

Se trata de luz ultravioleta cercana, justo en el límite del visible.