Ejercicio resuelto de Campo magnético · Física · Aragón · 2022

a) Escriba la expresión de la fuerza de Lorentz que actúa sobre una partícula de carga $q$ que se mueve con velocidad $\vec{v}$ en una región donde hay un campo magnético $\vec{B}$. Explique las características de esta fuerza. [1 punto]

Una partícula de carga $q=\mathrm{1,6}\cdot {10}^{-19}\text{ C}$ se mueve en un campo magnético uniforme de valor $B=\mathrm{0,2}\text{ T}$, describiendo una circunferencia con periodo $\mathrm{3,2}\cdot {10}^{-7}\text{ s}$ y velocidad de $\mathrm{3,8}\cdot {10}^6\text{ m}\mathrm{/}\text{s}$ en un plano perpendicular a la dirección del campo magnético. Calcule:

b) El radio de la circunferencia descrita. [0,75 puntos]

c) La masa de la partícula. [0,75 puntos]

La fuerza magnética sobre una carga en movimiento es:

$\vec{F}=q(\vec{v}\times \vec{B})$

y su módulo vale $F=\mathrm{\mid }q\mathrm{\mid }vB\text{sen}\phi$, siendo $\phi$ el ángulo que forman la velocidad y el campo.

Sus características son cuatro, y todas se siguen de que sea un producto vectorial:

Solo actúa sobre cargas en movimiento, y solo si la velocidad no es paralela al campo. Si $\vec{v}$ y $\vec{B}$ son paralelos, el producto vectorial se anula y la fuerza es nula.

Su dirección es perpendicular al plano que forman la velocidad y el campo, y su sentido lo da la regla de la mano derecha, invertida si la carga es negativa.

Es máxima cuando la velocidad es perpendicular al campo, y entonces vale $\mathrm{\mid }q\mathrm{\mid }vB$.

No realiza trabajo, porque es siempre perpendicular al desplazamiento. Por tanto no cambia el módulo de la velocidad ni la energía cinética de la partícula: solo curva su trayectoria.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{radio}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{circunferencia}}\mathbf{\text{descrita.}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$










Al ser la velocidad perpendicular al campo, la fuerza magnética es constante en módulo y siempre perpendicular al movimiento: hace de centrípeta y la trayectoria es una circunferencia recorrida con movimiento uniforme.

En un movimiento circular uniforme, la longitud de la circunferencia se recorre en un periodo:





$v={\displaystyle \frac{2\pi R}{T}}\Rightarrow R={\displaystyle \frac{vT}{2\pi }}$

$R={\displaystyle \frac{\mathrm{3,8}\cdot {10}^6\cdot \mathrm{3,2}\cdot {10}^{-7}}{2\pi }}=\mathrm{0,194}\text{ m}$

El radio de la circunferencia es de $\mathrm{0,194}\text{ m}$.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{masa}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{part}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{cula.}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Se iguala la fuerza magnética a la fuerza centrípeta que exige el movimiento circular:

$\mathrm{\mid }q\mathrm{\mid }vB=m{\displaystyle \frac{v^2}{R}}\Rightarrow m={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }q\mathrm{\mid }BR}{v}}$

Sustituyendo el radio obtenido en el apartado anterior, la expresión queda aún más simple, porque la velocidad se cancela:

$m={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }q\mathrm{\mid }BT}{2\pi }}={\displaystyle \frac{\mathrm{1,6}\cdot {10}^{-19}\cdot \mathrm{0,2}\cdot \mathrm{3,2}\cdot {10}^{-7}}{2\pi }}$

$m=\mathrm{1,63}\cdot {10}^{-27}\text{ kg}$

La masa de la partícula es de $\mathrm{1,63}\cdot {10}^{-27}\text{ kg}$, muy próxima a la del protón. El resultado deja ver algo importante: el periodo del movimiento no depende de la velocidad, solo del cociente entre la masa y la carga, y en eso se basa el funcionamiento del ciclotrón.