Ejercicio resuelto de Campo magnético · Física · Aragón · 2021

a) Explique la fuerza ejercida entre dos hilos conductores paralelos indefinidos, separados una distancia $d$ y por los que circulan sendas corrientes $I_1$ e $I_2$ que llevan el mismo sentido. ¿Cómo se modifica la fuerza entre corrientes en el caso de que las intensidades lleven sentido opuesto? [1 punto]

Por un hilo conductor rectilíneo vertical de longitud infinita situado en el eje $z$, circula una corriente de 20 A en el sentido positivo de dicho eje. Un segundo hilo conductor, también infinitamente largo y paralelo al anterior, corta el eje $y$ en el punto de coordenada $y=10\text{ cm}$. Determine:

b) La intensidad y el sentido de la corriente del segundo hilo, sabiendo que el campo magnético resultante en el punto del eje $y$ de coordenada $y=2\text{ cm}$ es nulo. [0,75 puntos]

c) La fuerza por unidad de longitud que actúa sobre cada conductor, explicando cuál es su dirección y sentido. [0,75 puntos]

Dato: ${\mu }_0=4\pi \cdot {10}^{-7}\text{ T m}\cdot {\text{A}}^{-1}$.

Cada conductor crea a su alrededor un campo magnético cuyo módulo, a una distancia $d$, vale:

$B_1={\displaystyle \frac{{\mu }_0{I}_1}{2\pi d}}$

El segundo conductor está inmerso en ese campo, y como transporta corriente, experimenta la fuerza de Lorentz.





Combinando ambas expresiones se obtiene la fuerza por unidad de longitud:

${\displaystyle \frac{F}{l}}={\displaystyle \frac{{\mu }_0{I}_1{I}_2}{2\pi d}}$

Cuando las dos corrientes llevan el mismo sentido, la aplicación de la regla de la mano derecha da una fuerza dirigida de cada conductor hacia el otro: los hilos se atraen.

Si las intensidades llevan sentidos opuestos, el campo que crea uno de ellos cambia de signo y las dos fuerzas se invierten: el módulo es exactamente el mismo, pero ahora los hilos se repelen.

En los dos casos las dos fuerzas son iguales en módulo y opuestas en sentido, como exige el principio de acción y reacción, aunque las intensidades sean distintas. Esta expresión es, de hecho, la que servía para definir el amperio en el Sistema Internacional antes de 2019.












El punto donde se anula el campo está entre los dos hilos: a 2 cm del primero y a 8 cm del segundo.

Para que los dos campos se cancelen deben tener sentidos opuestos en ese punto, y eso, en la región comprendida entre los conductores, solo ocurre si las dos corrientes circulan en el mismo sentido.





Se igualan los módulos de los dos campos:

${\displaystyle \frac{{\mu }_0{I}_1}{2\pi d_1}}={\displaystyle \frac{{\mu }_0{I}_2}{2\pi d_2}}\Rightarrow {\displaystyle \frac{I_1}{d_1}}={\displaystyle \frac{I_2}{d_2}}$

$I_2=I_1{\displaystyle \frac{d_2}{d_1}}=20\cdot {\displaystyle \frac{\mathrm{0,08}}{\mathrm{0,02}}}$

$I_2=80\text{ A}$

Por el segundo hilo circulan $80\text{ A}$ en el sentido positivo del eje $z$, el mismo que en el primero. Es coherente que sea mayor: está cuatro veces más lejos del punto de anulación y necesita cuatro veces más corriente para crear allí el mismo campo.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{fuerza}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{unidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{longitud}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{act}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{sobre}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{conductor,}}\mathbf{\text{explicando}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{direcci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{sentido.}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Se aplica la expresión del apartado a) con la separación real entre los dos hilos, que son los 10 cm del enunciado:

${\displaystyle \frac{F}{l}}={\displaystyle \frac{{\mu }_0{I}_1{I}_2}{2\pi d}}={\displaystyle \frac{4\pi \cdot {10}^{-7}\cdot 20\cdot 80}{2\pi \cdot \mathrm{0,10}}}$

${\displaystyle \frac{F}{l}}=\mathrm{3,2}\cdot {10}^{-3}\text{ N/m}$

Sobre cada conductor actúa la misma fuerza por unidad de longitud, $\mathrm{3,2}\cdot {10}^{-3}\text{ N/m}$.

En cuanto a la dirección y el sentido: la fuerza es perpendicular a los dos hilos, es decir, tiene la dirección del eje $y$, que es el que los une. Como las dos corrientes llevan el mismo sentido, son de atracción: sobre el hilo del eje $z$ la fuerza apunta en el sentido positivo del eje $y$, y sobre el segundo hilo, en el negativo.