Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · Aragón · 2024

El planeta Marte tiene dos satélites naturales, Fobos y Deimos. El radio orbital de Fobos es de 12767 km.

a) Obtenga el periodo orbital de Fobos. [0,75 puntos]

b) Utilice la tercera ley de Kepler para obtener el periodo orbital de Deimos, cuyo radio orbital es de 26950 km. [1 punto]

c) Calcule la velocidad de escape de un cohete desde la superficie de Fobos, suponiendo que el satélite es esférico. [0,75 puntos]

Datos: masa de Marte, $M_{\text{Marte}}=\mathrm{6,39}\cdot {10}^{23}\text{ kg}$; radio de Fobos, $R_{\text{Fobos}}=21\text{ km}$; masa de Fobos, $M_{\text{Fobos}}=\mathrm{1,08}\cdot {10}^{16}\text{ kg}$; constante de gravitación universal, $G=\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\text{ N}\cdot {\text{m}}^2\mathrm{/}{\text{kg}}^2$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Obtenga}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{periodo}}\mathbf{\text{orbital}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{Fobos.}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$










La única fuerza que actúa sobre Fobos es la atracción gravitatoria de Marte, y como su órbita es circular esa fuerza es la centrípeta. Por la segunda ley de Newton:

$G{\displaystyle \frac{M_{\text{Marte}}{M}_{\text{Fobos}}}{r^2}}=M_{\text{Fobos}}{\displaystyle \frac{v^2}{r}}$

$v=\sqrt{{\displaystyle \frac{G{M}_{\text{Marte}}}{r}}}$





La velocidad de un movimiento circular uniforme se relaciona con el periodo mediante $v={\displaystyle \frac{2\pi r}{T}}$, y al sustituirla se obtiene la tercera ley de Kepler:

${\displaystyle \frac{4{\pi }^2{r}^2}{T^2}}={\displaystyle \frac{G{M}_{\text{Marte}}}{r}}\Rightarrow {\displaystyle \frac{T^2}{r^3}}={\displaystyle \frac{4{\pi }^2}{G{M}_{\text{Marte}}}}$

$T=\sqrt{{\displaystyle \frac{4{\pi }^2{r}^3}{G{M}_{\text{Marte}}}}}$

Se sustituyen los datos en unidades del Sistema Internacional:

$r=12767\text{ km}=\mathrm{1,2767}\cdot {10}^7\text{ m}$

$T=\sqrt{{\displaystyle \frac{4{\pi }^2{(\mathrm{1,2767}\cdot {10}^7)}^3}{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{6,39}\cdot {10}^{23}}}}=\mathrm{4,39}\cdot {10}^4\text{ s}$

El periodo orbital de Fobos es de $\mathrm{4,39}\cdot {10}^4\text{ s}$, es decir, $\mathrm{12,2}\text{ h}$: Fobos da casi dos vueltas a Marte en un día marciano.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Utilice}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{tercera}}\mathbf{\text{ley}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{Kepler}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{obtener}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{periodo}}\mathbf{\text{orbital}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{Deimos,}}\mathbf{\text{cuyo}}\mathbf{\text{radio}}\mathbf{\text{orbital}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{26950}}\mathbf{\text{km.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

La tercera ley de Kepler dice que el cociente $T^2\mathrm{/}{r}^3$ es el mismo para todos los satélites de un mismo astro, porque solo depende de la masa de este:

${\displaystyle \frac{T_D^2}{r_D^3}}={\displaystyle \frac{T_F^2}{r_F^3}}$

Se despeja el periodo de Deimos:

$T_D=T_F\sqrt{{\displaystyle \frac{r_D^3}{r_F^3}}}=T_F{\left({\displaystyle \frac{r_D}{r_F}}\right)}^{3\mathrm{/}2}$

$T_D=\mathrm{4,39}\cdot {10}^4{\left({\displaystyle \frac{26950}{12767}}\right)}^{3\mathrm{/}2}=\mathrm{1,35}\cdot {10}^5\text{ s}$

El periodo orbital de Deimos es de $\mathrm{1,35}\cdot {10}^5\text{ s}$, o sea $\mathrm{37,4}\text{ h}$. Al estar más lejos tarda más, como exige la tercera ley.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{escape}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{cohete}}\mathbf{\text{desde}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{superficie}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{Fobos,}}\mathbf{\text{suponiendo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sat}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{lite}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{esf}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{rico.}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

La velocidad de escape es la mínima que hay que comunicar a un cuerpo situado en la superficie para que llegue al infinito con velocidad nula. El campo gravitatorio es conservativo y no hay otras fuerzas, así que la energía mecánica se conserva:

$E_c(R_F)+E_p(R_F)=E_c(\mathrm{\infty })+E_p(\mathrm{\infty })=0$

${\displaystyle \frac{1}{2}}m{v}_e^2-G{\displaystyle \frac{M_{\text{Fobos}}m}{R_F}}=0$

$v_e=\sqrt{{\displaystyle \frac{2G{M}_{\text{Fobos}}}{R_F}}}$

Se sustituyen los datos, con el radio de Fobos en metros:

$R_F=21\text{ km}=\mathrm{2,1}\cdot {10}^4\text{ m}$

$v_e=\sqrt{{\displaystyle \frac{2\cdot \mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{1,08}\cdot {10}^{16}}{\mathrm{2,1}\cdot {10}^4}}}=\mathrm{8,28}\text{ m/s}$

Bastan $\mathrm{8,28}\text{ m/s}$ para escapar de Fobos: un satélite tan pequeño retiene muy poco.