Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · Aragón · 2024

El satélite meteorológico Flexible Combined Imager, con una masa de 2000 kg, fue lanzado por la Agencia Europea del Espacio el 13 de diciembre de 2022 y está revolucionando la predicción meteorológica en Europa.

a) ¿Qué energía hubo que transmitirle para ponerlo en órbita circular a una altitud de 36.000 km, despreciando la energía cinética inicial? [1 punto]

b) ¿Cuáles serán su velocidad y su periodo una vez en órbita? [1,5 puntos]

Datos: constante de gravitación universal, $G=\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\text{ N}\cdot {\text{m}}^2\mathrm{/}{\text{kg}}^2$; radio de la Tierra, $R_T=6370\text{ km}$; masa de la Tierra, $M_T=\mathrm{5,972}\cdot {10}^{24}\text{ kg}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{¿Qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{energ}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{hubo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{transmitirle}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{ponerlo}}\mathbf{\text{en}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{rbita}}\mathbf{\text{circular}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{altitud}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{36.000}}\mathbf{\text{km,}}\mathbf{\text{despreciando}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{energ}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{cin}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{tica}}\mathbf{\text{inicial?}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$










La energía que hay que comunicarle es la diferencia entre su energía mecánica en la órbita y la que tenía en la superficie. En la superficie, despreciando la energía cinética inicial, solo hay energía potencial:

$E_{\text{sup}}=-G{\displaystyle \frac{M_{T}m}{R_T}}$





Una vez en órbita circular de radio $r=R_T+h$, la fuerza gravitatoria es la centrípeta, y de ahí sale la energía cinética orbital:

$G{\displaystyle \frac{M_{T}m}{r^2}}=m{\displaystyle \frac{v^2}{r}}\Rightarrow {\displaystyle \frac{1}{2}}m{v}^2={\displaystyle \frac{G{M}_{T}m}{2r}}$

Con lo que la energía mecánica en la órbita es la mitad de la potencial:

$E_{\text{orb}}={\displaystyle \frac{G{M}_{T}m}{2r}}-{\displaystyle \frac{G{M}_{T}m}{r}}=-{\displaystyle \frac{G{M}_{T}m}{2r}}$

La energía pedida es la diferencia entre las dos:

$\mathrm{\Delta }E=E_{\text{orb}}-E_{\text{sup}}=-{\displaystyle \frac{G{M}_{T}m}{2(R_T+h)}}+{\displaystyle \frac{G{M}_{T}m}{R_T}}$

Se sustituyen los datos en unidades del Sistema Internacional:

$R_T=6370\text{ km}=\mathrm{6,37}\cdot {10}^6\text{ m}h=36000\text{ km}=\mathrm{3,6}\cdot {10}^7\text{ m}$

$r=R_T+h=\mathrm{4,237}\cdot {10}^7\text{ m}$

$\mathrm{\Delta }E=-{\displaystyle \frac{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{5,972}\cdot {10}^{24}\cdot 2000}{2\cdot \mathrm{4,237}\cdot {10}^7}}+{\displaystyle \frac{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{5,972}\cdot {10}^{24}\cdot 2000}{\mathrm{6,37}\cdot {10}^6}}$

$\mathrm{\Delta }E=-\mathrm{9,40}\cdot {10}^9+\mathrm{1,251}\cdot {10}^{11}=\mathrm{1,16}\cdot {10}^{11}\text{ J}$

Hubo que transmitirle $\mathrm{1,16}\cdot {10}^{11}\text{ J}$. Casi toda esa energía se emplea en subirlo, no en darle velocidad: el término de la energía potencial en la superficie es un orden de magnitud mayor que el orbital.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{les}}\mathbf{\text{ser}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{periodo}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{vez}}\mathbf{\text{en}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{rbita?}}\mathbf{\text{[1,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

De la igualdad entre la fuerza gravitatoria y la centrípeta del apartado anterior se despeja la velocidad orbital:

$v=\sqrt{{\displaystyle \frac{G{M}_T}{r}}}$

$v=\sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{5,972}\cdot {10}^{24}}{\mathrm{4,237}\cdot {10}^7}}}=\mathrm{3,07}\cdot {10}^3\text{ m/s}$

Como el movimiento es circular uniforme, el periodo es el tiempo que tarda en recorrer la circunferencia completa:

$T={\displaystyle \frac{2\pi r}{v}}={\displaystyle \frac{2\pi \cdot \mathrm{4,237}\cdot {10}^7}{\mathrm{3,07}\cdot {10}^3}}=\mathrm{8,68}\cdot {10}^4\text{ s}$

El satélite orbita a $\mathrm{3,07}\cdot {10}^3\text{ m/s}$ con un periodo de $\mathrm{8,68}\cdot {10}^4\text{ s}$, es decir, $\mathrm{24,1}\text{ h}$: es prácticamente un satélite geoestacionario, como corresponde a un satélite meteorológico que debe vigilar siempre la misma región.