Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · Aragón · 2022

Galileo observó por primera vez las lunas de Júpiter en 1610. Encontró que Ío, el satélite más cercano a Júpiter que pudo observar en su época, poseía un periodo orbital de 1,8 días y el radio de su órbita era, aproximadamente, 3 veces el diámetro de Júpiter. Asimismo, encontró que el periodo orbital de Calisto (la cuarta luna más alejada de Júpiter) era de 16,7 días. Con esos datos, y suponiendo órbitas circulares, calcule:

a) La masa de Júpiter. [1 punto]

b) El radio de la órbita de Calisto. [1 punto]

c) El valor de la aceleración de la gravedad en la superficie de Júpiter. [0,5 puntos]

Datos: constante de gravitación universal, $G=\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\text{ N }{\text{m}}^2{\text{kg}}^{-2}$; radio de Júpiter, $R_J=\mathrm{7,15}\cdot {10}^7\text{ m}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{masa}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{J}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{piter.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$










La única fuerza sobre Ío es la atracción gravitatoria de Júpiter, y al ser la órbita circular es la que hace de centrípeta. Por la segunda ley de Newton:

$G{\displaystyle \frac{M_{J}m}{r^2}}=m{\omega }^{2}r\text{con}\omega ={\displaystyle \frac{2\pi }{T}}$

$M_J={\displaystyle \frac{4{\pi }^2{r}^3}{G{T}^2}}$





El radio de la órbita de Ío es tres veces el diámetro de Júpiter, es decir, seis veces su radio:

$r_I=3\cdot 2R_J=6\cdot \mathrm{7,15}\cdot {10}^7=\mathrm{4,29}\cdot {10}^8\text{ m}$

Y su periodo, en segundos:

$T_I=\mathrm{1,8}\text{d}\acute{\text{ı}}\text{as}\cdot {\displaystyle \frac{86400\text{ s}}{1\text{d}\acute{\text{ı}}\text{a}}}=\mathrm{1,56}\cdot {10}^5\text{ s}$

$M_J={\displaystyle \frac{4{\pi }^2{(\mathrm{4,29}\cdot {10}^8)}^3}{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}{(\mathrm{1,56}\cdot {10}^5)}^2}}=\mathrm{1,93}\cdot {10}^{27}\text{ kg}$

La masa de Júpiter es de $\mathrm{1,93}\cdot {10}^{27}\text{ kg}$, unas trescientas veces la de la Tierra. Es notable que Galileo pudiera obtenerla, en principio, con solo un catalejo y un reloj.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{radio}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{rbita}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{Calisto.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Se aplica la tercera ley de Kepler a los dos satélites de Júpiter, que comparten la constante:

${\displaystyle \frac{T_C^2}{r_C^3}}={\displaystyle \frac{T_I^2}{r_I^3}}\Rightarrow r_C=r_I{\left({\displaystyle \frac{T_C}{T_I}}\right)}^{2\mathrm{/}3}$

$r_C=\mathrm{4,29}\cdot {10}^8{\left({\displaystyle \frac{\mathrm{16,7}}{\mathrm{1,8}}}\right)}^{2\mathrm{/}3}=\mathrm{1,89}\cdot {10}^9\text{ m}$

El radio de la órbita de Calisto es de $\mathrm{1,89}\cdot {10}^9\text{ m}$, unas cuatro veces y media el de Ío. Nótese que los periodos pueden dejarse en días, porque solo interviene su cociente.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{aceleraci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{gravedad}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{superficie}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{J}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{piter.}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

La aceleración de la gravedad en la superficie es el campo gravitatorio a una distancia igual al radio del planeta:

$g_J=G{\displaystyle \frac{M_J}{R_J^2}}={\displaystyle \frac{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{1,93}\cdot {10}^{27}}{{(\mathrm{7,15}\cdot {10}^7)}^2}}$

$g_J=\mathrm{25,2}{\text{m/s}}^2$

La aceleración de la gravedad en la superficie de Júpiter es de $\mathrm{25,2}{\text{m/s}}^2$, unas dos veces y media la terrestre. Pese a tener trescientas veces más masa, su radio es once veces mayor, y el radio entra al cuadrado.