Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · Aragón · 2024

Conteste a las siguientes preguntas:

a) Describa el concepto de potencial gravitatorio y dé su expresión para una masa puntual a una distancia $r$. [0,75 puntos]

b) Calcule las energías cinética y mecánica del satélite marciano Fobos. [1,75 puntos]

Datos: masa de Marte, $M_{\text{Marte}}=\mathrm{6,39}\cdot {10}^{23}\text{ kg}$; masa de Fobos, $M_{\text{Fobos}}=\mathrm{1,08}\cdot {10}^{16}\text{ kg}$; radio orbital de Fobos, $r_{\text{Fobos}}=9377\text{ km}$; constante de gravitación universal, $G=\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\text{ N}\cdot {\text{m}}^2\mathrm{/}{\text{kg}}^2$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Describa}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{concepto}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{potencial}}\mathbf{\text{gravitatorio}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{d}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{expresi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{masa}}\mathbf{\text{puntual}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{distancia}}\mathit{r}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$










El potencial gravitatorio en un punto es la energía potencial que tendría la unidad de masa colocada en él, o lo que es lo mismo, el trabajo que hay que hacer contra el campo para traer la unidad de masa desde el infinito hasta ese punto.

Para una masa puntual $M$ a una distancia $r$:

$V=-G{\displaystyle \frac{M}{r}}$





Es una magnitud escalar y se mide en $\text{J/kg}$ en el Sistema Internacional. El signo negativo procede de tomar el origen de potenciales en el infinito: al acercarse a la masa el potencial disminuye, y por eso la gráfica es la rama de hipérbola de la figura.

La energía potencial de una masa $m$ situada en ese punto se obtiene multiplicando el potencial por la masa:

$E_p=mV=-G{\displaystyle \frac{Mm}{r}}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{energ}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{as}}\mathbf{\text{cin}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{tica}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{mec}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{nica}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{sat}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{lite}}\mathbf{\text{marciano}}\mathbf{\text{Fobos.}}\mathbf{\text{[1,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Fobos describe una órbita circular, luego la fuerza gravitatoria de Marte es la fuerza centrípeta. Aplicando la segunda ley de Newton:

$G{\displaystyle \frac{M_{\text{Marte}}{M}_{\text{Fobos}}}{r^2}}=M_{\text{Fobos}}{\displaystyle \frac{v^2}{r}}$

$v^2={\displaystyle \frac{G{M}_{\text{Marte}}}{r}}$

Con esa velocidad, la energía cinética del satélite vale:

$E_c={\displaystyle \frac{1}{2}}{M}_{\text{Fobos}}{v}^2={\displaystyle \frac{G{M}_{\text{Marte}}{M}_{\text{Fobos}}}{2r}}$

$E_c={\displaystyle \frac{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{6,39}\cdot {10}^{23}\cdot \mathrm{1,08}\cdot {10}^{16}}{2\cdot \mathrm{9,377}\cdot {10}^6}}=\mathrm{2,45}\cdot {10}^{22}\text{ J}$

La energía mecánica es la suma de la cinética y la potencial:

$E_m=E_c+E_p={\displaystyle \frac{G{M}_{\text{Marte}}{M}_{\text{Fobos}}}{2r}}-{\displaystyle \frac{G{M}_{\text{Marte}}{M}_{\text{Fobos}}}{r}}$

$E_m=-{\displaystyle \frac{G{M}_{\text{Marte}}{M}_{\text{Fobos}}}{2r}}=-\mathrm{2,45}\cdot {10}^{22}\text{ J}$

La energía cinética de Fobos es $\mathrm{2,45}\cdot {10}^{22}\text{ J}$ y su energía mecánica $-\mathrm{2,45}\cdot {10}^{22}\text{ J}$, la misma cantidad con signo contrario. Que la energía mecánica sea negativa es lo que dice que Fobos está ligado a Marte.