Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2023

Responda a las siguientes cuestiones:

a) La probabilidad de que un autobús escolar llegue con retraso en un día nublado es de 0,08 y en un día despejado 0,004. Durante un periodo de 20 días ha habido 8 días nublados y 12 días despejados. Para un día elegido al azar, ¿cuál será la probabilidad de que el autobús llegue con retraso? (6 puntos)

b) De los sucesos $A$ y $B$ de un mismo experimento aleatorio se sabe que $P(A)={\displaystyle \frac{3}{8}}$, $P(B)={\displaystyle \frac{5}{8}}$ y $P(A\cup B)={\displaystyle \frac{3}{4}}$. Calcule $P(A\cap B)$, $P(A\mathrm{/}B)$ y $P(A\cap \bar{B})$. Justifique si $A$ y $B$ son dos sucesos independientes. (4 puntos)

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{autob}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{s}}\mathbf{\text{escolar}}\mathbf{\text{llegue}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{retraso}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{d}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{nublado}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{0,08}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{d}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{despejado}}\mathbf{\text{0,004.}}\mathbf{\text{Durante}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{periodo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{20}}\mathbf{\text{d}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{as}}\mathbf{\text{ha}}\mathbf{\text{habido}}\mathbf{\text{8}}\mathbf{\text{d}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{as}}\mathbf{\text{nublados}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{12}}\mathbf{\text{d}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{as}}\mathbf{\text{despejados.}}\mathbf{\text{Para}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{d}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{elegido}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{azar,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{ser}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{autob}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{s}}\mathbf{\text{llegue}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{retraso?}}(6\text{ puntos})$

Se nombran los sucesos que intervienen en el enunciado:

$N\equiv$ el día elegido es nublado,

$D\equiv$ el día elegido es despejado,

$R\equiv$ el autobús llega con retraso.

De los 20 días, 8 son nublados y 12 despejados, así que:

$P(N)={\displaystyle \frac{8}{20}}=\mathrm{0,4},P(D)={\displaystyle \frac{12}{20}}=\mathrm{0,6}$

$P(R\mathrm{/}N)=\mathrm{0,08},P(R\mathrm{/}D)=\mathrm{0,004}$

Se hace un diagrama de árbol con toda la información.



Los sucesos $N$ y $D$ forman un sistema completo, así que se aplica el teorema de la probabilidad total.

$P(R)=P(N)P(R\mathrm{/}N)+P(D)P(R\mathrm{/}D)$

$P(R)=\mathrm{0,4}\cdot \mathrm{0,08}+\mathrm{0,6}\cdot \mathrm{0,004}=\mathrm{0,032}+\mathrm{0,0024}$

$P(R)=\mathrm{0,0344}$

La probabilidad de que el autobús llegue con retraso un día elegido al azar es $\mathrm{0,0344}$.



Se despeja la probabilidad de la intersección de la fórmula de la probabilidad de la unión.

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\Rightarrow P(A\cap B)=P(A)+P(B)-P(A\cup B)$

$P(A\cap B)={\displaystyle \frac{3}{8}}+{\displaystyle \frac{5}{8}}-{\displaystyle \frac{3}{4}}=1-{\displaystyle \frac{3}{4}}={\displaystyle \frac{1}{4}}$

Se aplica ahora la definición de probabilidad condicionada.

$P(A\mathrm{/}B)={\displaystyle \frac{P(A\cap B)}{P(B)}}={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{4}}}{{\displaystyle \frac{5}{8}}}}={\displaystyle \frac{1}{4}}\cdot {\displaystyle \frac{8}{5}}={\displaystyle \frac{2}{5}}=\mathrm{0,4}$

Los elementos de $A$ se reparten entre los que están también en $B$ y los que no, de modo que:

$P(A\cap \bar{B})=P(A)-P(A\cap B)={\displaystyle \frac{3}{8}}-{\displaystyle \frac{1}{4}}={\displaystyle \frac{3-2}{8}}={\displaystyle \frac{1}{8}}$

Por último, dos sucesos son independientes cuando la probabilidad de su intersección es el producto de sus probabilidades.

$P(A)\cdot P(B)={\displaystyle \frac{3}{8}}\cdot {\displaystyle \frac{5}{8}}={\displaystyle \frac{15}{64}}$

$P(A\cap B)={\displaystyle \frac{1}{4}}={\displaystyle \frac{16}{64}}$

${\displaystyle \frac{15}{64}}\mathrm{\ne }{\displaystyle \frac{16}{64}}$

Se obtiene $P(A\cap B)={\displaystyle \frac{1}{4}}$, $P(A\mathrm{/}B)={\displaystyle \frac{2}{5}}$ y $P(A\cap \bar{B})={\displaystyle \frac{1}{8}}$. Los sucesos $A$ y $B$ no son independientes, porque $P(A\cap B)\mathrm{\ne }P(A)\cdot P(B)$.