Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2022

Por una prueba de acceso a la Universidad realizada a los estudiantes de segundo de Bachillerato, se sabe que las calificaciones obtenidas se distribuyen según una distribución normal.

a) Si la media de la prueba selectiva es de 65 puntos y la desviación típica 8, calcule la probabilidad de que la nota media de 25 estudiantes elegidos al azar sea mayor a 63 puntos. (4 puntos)

b) Calcule un intervalo de confianza para la nota media de ingreso en DADE, con un nivel de confianza del 92 %, sabiendo que ingresan 100 estudiantes, que la nota media de acceso es de 80 puntos y que la desviación típica es 8,8 puntos. (3 puntos)

c) Determine el tamaño de la muestra necesario para que el error máximo del intervalo de confianza calculado en el apartado anterior se reduzca a la mitad (con los datos del apartado b). (3 puntos)

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{media}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{prueba}}\mathbf{\text{selectiva}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{65}}\mathbf{\text{puntos}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{desviaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{t}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{pica}}\mathbf{\text{8,}}\mathbf{\text{calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{nota}}\mathbf{\text{media}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{25}}\mathbf{\text{estudiantes}}\mathbf{\text{elegidos}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{azar}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{mayor}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{63}}\mathbf{\text{puntos.}}(4\text{ puntos})$

Se pregunta por la media de una muestra, no por una observación aislada. Si la población es normal $N(\mu ,\sigma )$, la distribución de la media muestral es

$\bar{X}\sim N(\mu ;{\displaystyle \frac{\sigma }{\sqrt{n}}})$

Con $\mu =65$, $\sigma =8$ y $n=25$:

${\displaystyle \frac{\sigma }{\sqrt{n}}}={\displaystyle \frac{8}{\sqrt{25}}}={\displaystyle \frac{8}{5}}=\mathrm{1,6}\Rightarrow \bar{X}\sim N(65;\mathrm{1,6})$

Se tipifica para poder usar la tabla de la $N(0,1)$:

$P(\bar{X}>63)=P(Z>{\displaystyle \frac{63-65}{\mathrm{1,6}}})=P(Z>-\mathrm{1,25})$

Por la simetría de la campana, la cola a la derecha de $-\mathrm{1,25}$ tiene la misma área que la cola a la izquierda de $\mathrm{1,25}$:

$P(Z>-\mathrm{1,25})=P(Z<\mathrm{1,25})=\mathrm{0,8944}$



La probabilidad de que la nota media de 25 estudiantes elegidos al azar sea mayor de 63 puntos es $\mathrm{0,8944}$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{intervalo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{confianza}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{nota}}\mathbf{\text{media}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{ingreso}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{DADE,}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{nivel}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{confianza}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{92}}\mathbf{\text{\%,}}\mathbf{\text{sabiendo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{ingresan}}\mathbf{\text{100}}\mathbf{\text{estudiantes,}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{nota}}\mathbf{\text{media}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{acceso}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{80}}\mathbf{\text{puntos}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{desviaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{t}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{pica}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{8,8}}\mathbf{\text{puntos.}}(3\text{ puntos})$

Se estima la media de una población normal de desviación típica conocida, así que el intervalo de confianza es

$IC=(\bar{x}-z_{\alpha \mathrm{/}2}{\displaystyle \frac{\sigma }{\sqrt{n}}};\bar{x}+z_{\alpha \mathrm{/}2}{\displaystyle \frac{\sigma }{\sqrt{n}}})$

Los datos son $\bar{x}=80$, $\sigma =\mathrm{8,8}$ y $n=100$.

Se busca el valor crítico. Con un nivel de confianza del 92 \%, $\alpha =\mathrm{0,08}$ y $\alpha \mathrm{/}2=\mathrm{0,04}$:

$P(Z\le z_{\alpha \mathrm{/}2})=1-{\displaystyle \frac{\alpha }{2}}=\mathrm{0,96}$

En la tabla de la $N(0,1)$ el valor más próximo a $\mathrm{0,96}$ es $\mathrm{0,9599}$, que corresponde a $z_{\alpha \mathrm{/}2}=\mathrm{1,75}$.



Se calcula el error:

$E=\mathrm{1,75}\cdot {\displaystyle \frac{\mathrm{8,8}}{\sqrt{100}}}=\mathrm{1,75}\cdot {\displaystyle \frac{\mathrm{8,8}}{10}}=\mathrm{1,75}\cdot \mathrm{0,88}=\mathrm{1,54}$

$IC=(80-\mathrm{1,54};80+\mathrm{1,54})$

El intervalo de confianza al 92 \% para la nota media de ingreso en DADE es $(\mathrm{78,46};\mathrm{81,54})$ puntos.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{tama}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{muestra}}\mathbf{\text{necesario}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{error}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximo}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{intervalo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{confianza}}\mathbf{\text{calculado}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{apartado}}\mathbf{\text{anterior}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{reduzca}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{mitad}}\mathbf{\text{(con}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{datos}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{apartado}}\mathbf{\text{b).}}(3\text{ puntos})$

El nuevo error debe ser la mitad del anterior:

$E^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{\mathrm{1,54}}{2}}=\mathrm{0,77}$

Se despeja $n$ de la fórmula del error, manteniendo el mismo valor crítico y la misma desviación típica:

$E^{\mathrm{\prime }}=z_{\alpha \mathrm{/}2}{\displaystyle \frac{\sigma }{\sqrt{n}}}\Rightarrow \sqrt{n}={\displaystyle \frac{z_{\alpha \mathrm{/}2}\sigma }{E^{\mathrm{\prime }}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{1,75}\cdot \mathrm{8,8}}{\mathrm{0,77}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{15,4}}{\mathrm{0,77}}}=20$

$n={20}^2=400$

Hay que tomar una muestra de $400$ estudiantes. El resultado era previsible: como el error es inversamente proporcional a $\sqrt{n}$, para reducirlo a la mitad hay que multiplicar por cuatro el tamaño de la muestra.