Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2021

Al terminar el bachillerato los 100 alumnos de un Centro, de las modalidades de Ciencias y Artes, planean viajar por Italia, Francia o Portugal. Entre los 55 alumnos de Ciencias se sabe que 10 quieren ir a Italia, 25 a Francia y 20 a Portugal. En el grupo de Artes hay 30 que quieren ir a Italia y 15 a Portugal. Elegido un alumno al azar, calcula:

a) La probabilidad de que quiera ir a Portugal. (2,5 puntos)

b) Probabilidad de que un alumno que quiera ir a Italia sea de Artes. (2,5 puntos)

c) Probabilidad de que un alumno quiera ir a Francia y sea de Ciencias. (2,5 puntos)

d) Probabilidad de que un alumno de Ciencias quiera ir a Francia. (2,5 puntos)

Se nombran los sucesos que intervienen en el enunciado:

$C\equiv$ el alumno elegido es de la modalidad de Ciencias,

$A\equiv$ el alumno elegido es de la modalidad de Artes,

$I,F,P\equiv$ el alumno elegido quiere ir a Italia, a Francia o a Portugal, respectivamente.

De los 100 alumnos, 55 son de Ciencias, así que los de Artes son $100-55=45$. En el grupo de Artes hay 30 que quieren ir a Italia y 15 a Portugal, luego a Francia quieren ir $45-30-15=0$.

Se ordena toda la información en una tabla de contingencia.

$$	$\text{Italia}$	$\text{Francia}$	$\text{Portugal}$	$\text{Total}$
Ciencias	10	25	20	55
Artes	30	0	15	45
Total	40	25	35	100

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{quiera}}\mathbf{\text{ir}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{Portugal.}}(\mathrm{2,5}\text{ puntos})$

Se aplica la regla de Laplace sobre el total de alumnos del centro.

$P(P)={\displaystyle \frac{\text{alumnos que quieren ir a Portugal}}{\text{total de alumnos}}}={\displaystyle \frac{20+15}{100}}={\displaystyle \frac{35}{100}}$

$P(P)=\mathrm{0,35}$

La probabilidad de que el alumno elegido quiera ir a Portugal es $\mathrm{0,35}$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{alumno}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{quiera}}\mathbf{\text{ir}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{Italia}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{Artes.}}(\mathrm{2,5}\text{ puntos})$

Se pide una probabilidad condicionada: el espacio muestral se reduce a los 40 alumnos que quieren ir a Italia.

$P(A\mathrm{/}I)={\displaystyle \frac{P(A\cap I)}{P(I)}}={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{30}{100}}}{{\displaystyle \frac{40}{100}}}}={\displaystyle \frac{30}{40}}$

$P(A\mathrm{/}I)={\displaystyle \frac{3}{4}}=\mathrm{0,75}$

La probabilidad de que un alumno que quiere ir a Italia sea de Artes es $\mathrm{0,75}$.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{alumno}}\mathbf{\text{quiera}}\mathbf{\text{ir}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{Francia}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{Ciencias.}}(\mathrm{2,5}\text{ puntos})$

Ahora se pide la probabilidad de la intersección, sin condicionar: se cuentan los alumnos que están a la vez en la fila de Ciencias y en la columna de Francia, sobre el total.

$P(F\cap C)={\displaystyle \frac{25}{100}}$

$P(F\cap C)=\mathrm{0,25}$

La probabilidad de que el alumno elegido quiera ir a Francia y sea de Ciencias es $\mathrm{0,25}$.

$\mathbf{\text{d)}}\mathbf{\text{Probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{alumno}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{Ciencias}}\mathbf{\text{quiera}}\mathbf{\text{ir}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{Francia.}}(\mathrm{2,5}\text{ puntos})$

Es de nuevo una probabilidad condicionada, pero ahora el espacio muestral se reduce a los 55 alumnos de Ciencias.

$P(F\mathrm{/}C)={\displaystyle \frac{P(F\cap C)}{P(C)}}={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{25}{100}}}{{\displaystyle \frac{55}{100}}}}={\displaystyle \frac{25}{55}}$

$P(F\mathrm{/}C)={\displaystyle \frac{5}{11}}\approx \mathrm{0,4545}$

La probabilidad de que un alumno de Ciencias quiera ir a Francia es ${\displaystyle \frac{5}{11}}\approx \mathrm{0,4545}$. Conviene fijarse en que este resultado es distinto del apartado c): allí el total eran los 100 alumnos del centro y aquí solo los 55 de Ciencias.