Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2024

Responda a las siguientes preguntas:

a) En una ciudad, según los datos del INE, el 52 % de los habitantes son mujeres y el 48 % son hombres. Se eligen cuatro personas de esa ciudad con reemplazamiento. Sea $X$ la variable que cuenta el número de hombres seleccionados. ¿Qué distribución tiene la variable $X$? Calcule $P(X=2)$. (2 puntos)

b) Queremos realizar una encuesta entre los aficionados de un equipo de fútbol para estimar, mediante un intervalo de confianza, qué proporción piensa que su equipo va a ascender a primera división el año que viene. Usaremos un nivel de confianza del 95 %. (8 puntos)

b.1) Si queremos que el intervalo no tenga una amplitud de más de 0,08, ¿cuál es el número mínimo de aficionados a los que tenemos que preguntar? (4 puntos)

b.2) Decidimos preguntar a 120 aficionados, de los cuales 80 dicen que piensan que el equipo ascenderá. Calcule un intervalo de confianza para la proporción de aficionados que piensa que el equipo va a ascender. (4 puntos)

Se repite cuatro veces la misma experiencia —elegir una persona y mirar si es hombre—, la elección se hace con reemplazamiento, de modo que las cuatro pruebas son independientes y la probabilidad de éxito se mantiene constante en $\mathrm{0,48}$. Por tanto:

$X\sim B(4;\mathrm{0,48})$

$P(X=k)=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{4}{k}\right){\mathrm{0,48}}^k{\mathrm{0,52}}^{4-k}$

$P(X=2)=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{4}{2}\right){\mathrm{0,48}}^2{\mathrm{0,52}}^2=6\cdot \mathrm{0,2304}\cdot \mathrm{0,2704}$

$P(X=2)=\mathrm{0,3738}$

La variable $X$ sigue una distribución binomial $B(4;\mathrm{0,48})$ y la probabilidad de que entre las cuatro personas haya exactamente dos hombres es $\mathrm{0,3738}$.

$\mathbf{\text{b.1)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{queremos}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{intervalo}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{tenga}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{amplitud}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{s}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{0,08,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{mero}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nimo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{aficionados}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{tenemos}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{preguntar?}}(4\text{ puntos})$

El intervalo de confianza para una proporción tiene amplitud $2E$, donde $E$ es el error o semiamplitud:

$E=z_{\alpha \mathrm{/}2}\sqrt{{\displaystyle \frac{\widehat{p}\widehat{q}}{n}}}$

Si la amplitud no debe pasar de $\mathrm{0,08}$, el error no debe pasar de la mitad:

$E\le \mathrm{0,04}$

Se busca el valor crítico. Con un nivel de confianza del 95 \%, $\alpha \mathrm{/}2=\mathrm{0,025}$ y

$P(Z\le z_{\alpha \mathrm{/}2})=1-{\displaystyle \frac{\alpha }{2}}=\mathrm{0,975}\Rightarrow z_{\alpha \mathrm{/}2}=\mathrm{1,96}$



Todavía no se ha hecho la encuesta, así que no se conoce $\widehat{p}$. Se toma el caso más desfavorable, que es el que hace máximo el producto $\widehat{p}\widehat{q}$:

$\widehat{p}=\widehat{q}=\mathrm{0,5}\Rightarrow \sqrt{\widehat{p}\widehat{q}}=\mathrm{0,5}$

Se sustituye en la fórmula del error y se despeja $n$:

$\mathrm{1,96}\cdot {\displaystyle \frac{\mathrm{0,5}}{\sqrt{n}}}\le \mathrm{0,04}\Rightarrow \sqrt{n}\ge {\displaystyle \frac{\mathrm{1,96}\cdot \mathrm{0,5}}{\mathrm{0,04}}}=\mathrm{24,5}$

$n\ge {\mathrm{24,5}}^2=\mathrm{600,25}$

Como $n$ debe ser un número entero y la desigualdad ha de cumplirse, se toma el entero inmediatamente superior.

Hay que preguntar como mínimo a $601$ aficionados.

$\mathbf{\text{b.2)}}\mathbf{\text{Decidimos}}\mathbf{\text{preguntar}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{120}}\mathbf{\text{aficionados,}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{cuales}}\mathbf{\text{80}}\mathbf{\text{dicen}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{piensan}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{equipo}}\mathbf{\text{ascender}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{intervalo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{confianza}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{proporci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{aficionados}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{piensa}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{equipo}}\mathbf{\text{va}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{ascender.}}(4\text{ puntos})$

Se calcula la proporción muestral:

$\widehat{p}={\displaystyle \frac{80}{120}}={\displaystyle \frac{2}{3}}\approx \mathrm{0,6667},\widehat{q}={\displaystyle \frac{1}{3}},n=120$

Se mantiene el valor crítico del apartado anterior, $z_{\alpha \mathrm{/}2}=\mathrm{1,96}$, y se calcula el error:

$E=\mathrm{1,96}\sqrt{{\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{2}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{3}}}{120}}}=\mathrm{1,96}\sqrt{\mathrm{0,0018519}}=\mathrm{1,96}\cdot \mathrm{0,043033}$

$E\approx \mathrm{0,0843}$

$IC=(\widehat{p}-E;\widehat{p}+E)=(\mathrm{0,6667}-\mathrm{0,0843};\mathrm{0,6667}+\mathrm{0,0843})$

El intervalo de confianza al 95 \% para la proporción de aficionados que piensan que el equipo va a ascender es $(\mathrm{0,5823};\mathrm{0,7510})$.