Ejercicio resuelto de Física nuclear · Física · 2020

El aluminio-26 es un radioisótopo cuyo periodo de semidesintegración es $\mathrm{7,17}\cdot {10}^5$ años. ¿Cuánto tiempo debe transcurrir para que una muestra de este material se reduzca a un 5 % de la cantidad original?

La cantidad de núcleos radiactivos que quedan sin desintegrar decae exponencialmente con el tiempo:

$N=N_0{e}^{-\lambda t}$

donde la constante de desintegración se relaciona con el periodo de semidesintegración:

$\lambda ={\displaystyle \frac{\ln 2}{T_{1\mathrm{/}2}}}={\displaystyle \frac{\ln 2}{\mathrm{7,17}\cdot {10}^5}}=\mathrm{9,67}\cdot {10}^{-7}{\text{a}\tilde{\text{n}}\text{os}}^{-1}$

Se impone la condición del enunciado, que quede el $5\mathrm{\%}$ de la cantidad inicial:

${\displaystyle \frac{N}{N_0}}=\mathrm{0,05}=e^{-\lambda t}$

Se toman logaritmos neperianos en ambos miembros y se despeja el tiempo:

$\ln (\mathrm{0,05})=-\lambda t\Rightarrow t={\displaystyle \frac{\ln 20}{\lambda }}$

$t={\displaystyle \frac{\mathrm{2,996}}{\mathrm{9,67}\cdot {10}^{-7}}}=\mathrm{3,10}\cdot {10}^6\text{a}\tilde{\text{n}}\text{os}$

Deben transcurrir unos $\mathrm{3,1}$ millones de años.

Puede comprobarse de otra forma, contando periodos de semidesintegración. Reducirse al $5\mathrm{\%}$ equivale a dividir entre $20$, y como cada periodo divide entre dos:

$2^n=20\Rightarrow n={\displaystyle \frac{\ln 20}{\ln 2}}=\mathrm{4,32}\text{ periodos}$

$t=\mathrm{4,32}\cdot \mathrm{7,17}\cdot {10}^5=\mathrm{3,10}\cdot {10}^6\text{a}\tilde{\text{n}}\text{os}$

Este isótopo, el aluminio-26, se usa precisamente para datar acontecimientos del sistema solar primitivo: su periodo es demasiado corto para que quede algo del original, y su presencia en los meteoritos se detecta a través de los productos de su desintegración.