Ejercicio resuelto de Física cuántica · Física · 2021

La energía correspondiente a un fotón es de $6\cdot {10}^{-20}\text{ J}$. ¿Qué frecuencia tendrá? ¿Cuál será la energía que transporta un fotón cuya longitud de onda es el doble de este valor?

Dato: constante de Planck, $h=\mathrm{6,62}\cdot {10}^{-34}\text{ J}\cdot \text{s}$.

La energía de un fotón está relacionada con su frecuencia por la ecuación de Planck:

$E=hf$

de donde se despeja la frecuencia:

$f={\displaystyle \frac{E}{h}}={\displaystyle \frac{6\cdot {10}^{-20}}{\mathrm{6,62}\cdot {10}^{-34}}}$

$f=\mathrm{9,06}\cdot {10}^{13}\text{ Hz}$

Es una frecuencia del infrarrojo, algo por debajo de la luz visible.

Para la segunda parte conviene expresar la energía en función de la longitud de onda. Como en el vacío $c=\lambda f$:

$E=hf=h{\displaystyle \frac{c}{\lambda }}$

La energía es inversamente proporcional a la longitud de onda, de modo que si esta se duplica, la energía se reduce a la mitad:

$E^{\mathrm{\prime }}=h{\displaystyle \frac{c}{2\lambda }}={\displaystyle \frac{1}{2}}h{\displaystyle \frac{c}{\lambda }}={\displaystyle \frac{E}{2}}$

$E^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{6\cdot {10}^{-20}}{2}}=3\cdot {10}^{-20}\text{ J}$

Puede comprobarse calculando explícitamente la longitud de onda del primer fotón:

$\lambda ={\displaystyle \frac{c}{f}}={\displaystyle \frac{3\cdot {10}^8}{\mathrm{9,06}\cdot {10}^{13}}}=\mathrm{3,31}\cdot {10}^{-6}\text{ m}$

y la energía del segundo, con ${\lambda }^{\mathrm{\prime }}=\mathrm{6,62}\cdot {10}^{-6}\text{ m}$:

$E^{\mathrm{\prime }}=\mathrm{6,62}\cdot {10}^{-34}\cdot {\displaystyle \frac{3\cdot {10}^8}{\mathrm{6,62}\cdot {10}^{-6}}}=3\cdot {10}^{-20}\text{ J}$