Ejercicio resuelto de Física cuántica · Física · 2021

Las partículas $\alpha$ son núcleos de helio, de masa cuatro veces la del protón. Consideremos una partícula $\alpha$ y un protón que poseen la misma energía cinética, moviéndose ambos a velocidades mucho más pequeñas que la de la luz. ¿Qué relación existe entre las longitudes de onda de De Broglie correspondientes a las dos partículas?

Según la hipótesis de De Broglie, la longitud de onda asociada a una partícula es inversamente proporcional a su momento lineal:

$\lambda ={\displaystyle \frac{h}{p}}={\displaystyle \frac{h}{mv}}$

Como el dato que comparten las dos partículas es la energía cinética y no la velocidad, conviene escribir el momento lineal en función de aquella. Para velocidades pequeñas frente a la de la luz:

$E_c={\displaystyle \frac{1}{2}}m{v}^2={\displaystyle \frac{p^2}{2m}}\Rightarrow p=\sqrt{2m{E}_c}$

Sustituyendo en la expresión de De Broglie:

$\lambda ={\displaystyle \frac{h}{\sqrt{2m{E}_c}}}$

Ahora se hace el cociente entre las dos longitudes de onda. Como la energía cinética es la misma para ambas, se simplifica junto con la constante de Planck:

${\displaystyle \frac{{\lambda }_{\alpha }}{{\lambda }_p}}={\displaystyle \frac{h\mathrm{/}\sqrt{2m_{\alpha }{E}_c}}{h\mathrm{/}\sqrt{2m_p{E}_c}}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{m_p}{m_{\alpha }}}}$

El enunciado indica que la partícula $\alpha$ tiene cuatro veces la masa del protón:

${\displaystyle \frac{{\lambda }_{\alpha }}{{\lambda }_p}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{m_p}{4m_p}}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{1}{4}}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$

${\lambda }_{\alpha }={\displaystyle \frac{{\lambda }_p}{2}}$

La longitud de onda de la partícula $\alpha$ es la mitad de la del protón. Dicho de otro modo, con la misma energía cinética la partícula más masiva tiene mayor momento lineal —aunque se mueva más despacio— y, por tanto, menor longitud de onda asociada.