Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2021

a) Razone si la siguiente afirmación es verdadera o falsa: «Si un planeta tiene el doble de masa y la mitad del radio que otro planeta, su velocidad de escape será el doble». [1 punto]

b) Conociendo la gravedad y la velocidad de escape en la superficie de Marte, calcule: i) el radio de Marte; ii) la masa de Marte. [1,5 puntos]

Datos: $g_{\text{Marte}}=\mathrm{3,7}\text{ m}{\text{s}}^{-2}$; $v_{\text{escape}}=5\cdot {10}^3\text{ m}{\text{s}}^{-1}$; $G=\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\text{ N}{\text{m}}^2{\text{kg}}^{-2}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Razone}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{siguiente}}\mathbf{\text{afirmaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{verdadera}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{falsa:}}\mathbf{\text{«Si}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{planeta}}\mathbf{\text{tiene}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{doble}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{masa}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{mitad}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{radio}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{otro}}\mathbf{\text{planeta,}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{escape}}\mathbf{\text{ser}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{doble».}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

La afirmación es verdadera. Se comprueba deduciendo primero la velocidad de escape.

La velocidad de escape es la mínima velocidad que hay que comunicar a un cuerpo situado en la superficie de un planeta para que llegue al infinito con velocidad nula. Como el campo gravitatorio es conservativo, la energía mecánica se conserva:

$-G\frac{Mm}{R}+\frac{1}{2}m{v}_e^2=0+0$

$v_e=\sqrt{\frac{2GM}{R}}$

Se aplica ahora al segundo planeta, con $M^{\mathrm{\prime }}=2M$ y $R^{\mathrm{\prime }}=R\mathrm{/}2$:

$v_e^{\mathrm{\prime }}=\sqrt{\frac{2G(2M)}{R\mathrm{/}2}}=\sqrt{4\cdot \frac{2GM}{R}}=2\sqrt{\frac{2GM}{R}}$

$v_e^{\mathrm{\prime }}=2v_e$

La velocidad de escape es, en efecto, el doble. La razón es que dentro de la raíz aparece el cociente $M\mathrm{/}R$, que en este caso queda multiplicado por cuatro, y la raíz de cuatro es dos.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Conociendo}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{gravedad}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{escape}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{superficie}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{Marte,}}\mathbf{\text{calcule:}}\mathbf{\text{i)}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{radio}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{Marte;}}\mathbf{\text{ii)}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{masa}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{Marte.}}\mathbf{\text{[1,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$










Se dispone de dos datos y hay dos incógnitas, así que se plantean las dos expresiones que las relacionan. La gravedad en la superficie es el campo gravitatorio a una distancia igual al radio:

$g=G\frac{M}{R^2}$

y la velocidad de escape es la deducida en el apartado anterior:

$v_e=\sqrt{\frac{2GM}{R}}$





i) Conviene combinarlas para eliminar la masa. De la primera expresión, $GM=g{R}^2$, y sustituyendo en la segunda:

$v_e=\sqrt{\frac{2g{R}^2}{R}}=\sqrt{2gR}$

Despejando el radio:

$R=\frac{v_e^2}{2g}=\frac{(5\cdot {10}^3{)}^2}{2\cdot \mathrm{3,7}}$

$R=\mathrm{3,38}\cdot {10}^6\text{ m}$

ii) Con el radio ya conocido, la masa se obtiene de la expresión de la gravedad:

$M=\frac{g{R}^2}{G}=\frac{\mathrm{3,7}\cdot (\mathrm{3,38}\cdot {10}^6{)}^2}{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}}$

$M=\mathrm{6,33}\cdot {10}^{23}\text{ kg}$

El radio de Marte es de $\mathrm{3,38}\cdot {10}^6\text{ m}$, algo más de la mitad del terrestre, y su masa, $\mathrm{6,33}\cdot {10}^{23}\text{ kg}$, aproximadamente la décima parte de la de la Tierra. Los dos valores coinciden con los tabulados para el planeta.