Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2020

a) Defina el concepto de energía mecánica de una partícula y explique cómo varía si sobre ella actúa una fuerza: i) conservativa; ii) no conservativa. [1 punto]

b) Un bloque de 5 kg de masa desliza, partiendo del reposo, por un plano inclinado que forma un ángulo de ${30}^{\circ }$ con la horizontal desde una altura de 10 m. El coeficiente de rozamiento entre el bloque y el plano es de 0,2. i) Represente en un esquema todas las fuerzas que actúan sobre el bloque durante la bajada. ii) Determine el trabajo realizado por la fuerza de rozamiento en ese desplazamiento. iii) Calcule mediante consideraciones energéticas la velocidad con la que llega a la base del plano inclinado. [1,5 puntos]

Dato: $g=\mathrm{9,8}\text{ m}{\text{s}}^{-2}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Defina}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{concepto}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{energ}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{mec}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{nica}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{part}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{cula}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{explique}}\mathbf{\text{c}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{mo}}\mathbf{\text{var}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{sobre}}\mathbf{\text{ella}}\mathbf{\text{act}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{fuerza:}}\mathbf{\text{i)}}\mathbf{\text{conservativa;}}\mathbf{\text{ii)}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{conservativa.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

La energía mecánica de una partícula es la suma de su energía cinética y de su energía potencial:

$E_m=E_c+E_p$

La energía cinética depende de la velocidad, $E_c=\frac{1}{2}m{v}^2$, y la potencial, de la posición dentro de un campo de fuerzas conservativo.

i) Si sobre la partícula solo actúan fuerzas conservativas, la energía mecánica no varía: se conserva. El motivo es que el trabajo de una fuerza conservativa es a la vez igual a la variación de energía cinética y a la disminución de la energía potencial:

$W_{\text{cons}}=\mathrm{\Delta }{E}_c{W}_{\text{cons}}=-\mathrm{\Delta }{E}_p$

$\mathrm{\Delta }{E}_c+\mathrm{\Delta }{E}_p=0\Rightarrow \mathrm{\Delta }{E}_m=0$

Lo que ocurre es que las dos energías se transforman la una en la otra, pero su suma permanece constante.

ii) Si además actúa alguna fuerza no conservativa, la energía mecánica varía exactamente en el trabajo de esa fuerza:

$W_{\text{no cons}}=\mathrm{\Delta }{E}_m$

Si ese trabajo es negativo, como el del rozamiento, la energía mecánica disminuye y la diferencia se disipa en forma de calor. Si es positivo, como el de un motor, la energía mecánica aumenta. Conviene precisar que lo que hace variar la energía mecánica no es que actúe la fuerza, sino que realice trabajo: una fuerza no conservativa perpendicular al desplazamiento no la altera.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Un}}\mathbf{\text{bloque}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{5}}\mathbf{\text{kg}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{masa}}\mathbf{\text{desliza,}}\mathbf{\text{partiendo}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{reposo,}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{plano}}\mathbf{\text{inclinado}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{forma}}\mathbf{\text{un}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ngulo}}\mathbf{\text{de}}\mathrm{<msup><mn\; mathvariant="bold">30</mn><mo\; mathvariant="bold-italic">\circ </mo></msup>}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{horizontal}}\mathbf{\text{desde}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{altura}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{10}}\mathbf{\text{m.}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{coeficiente}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{rozamiento}}\mathbf{\text{entre}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{bloque}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{plano}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{0,2.}}\mathbf{\text{i)}}\mathbf{\text{Represente}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{esquema}}\mathbf{\text{todas}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{fuerzas}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{act}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{an}}\mathbf{\text{sobre}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{bloque}}\mathbf{\text{durante}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{bajada.}}\mathbf{\text{ii)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{trabajo}}\mathbf{\text{realizado}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{fuerza}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{rozamiento}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{ese}}\mathbf{\text{desplazamiento.}}\mathbf{\text{iii)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{mediante}}\mathbf{\text{consideraciones}}\mathbf{\text{energ}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{ticas}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{llega}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{base}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{plano}}\mathbf{\text{inclinado.}}\mathbf{\text{[1,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$










i) Sobre el bloque actúan tres fuerzas: el peso, la normal y el rozamiento. El bloque baja, de modo que el rozamiento se opone al movimiento y apunta hacia arriba del plano. La normal es perpendicular al desplazamiento y no realiza trabajo.





ii) Se calcula primero la distancia recorrida a lo largo del plano, a partir de la altura y del ángulo:

$L=\frac{h}{\mathrm{sen}{30}^{\circ }}=\frac{10}{\mathrm{0,5}}=20\text{ m}$

La normal equilibra la componente del peso perpendicular al plano:

$N=mg\cos {30}^{\circ }=5\cdot \mathrm{9,8}\cdot \mathrm{0,866}=\mathrm{42,4}\text{ N}$

$F_r=\mu N=\mathrm{0,2}\cdot \mathrm{42,4}=\mathrm{8,49}\text{ N}$

El rozamiento se opone al desplazamiento, así que forma ${180}^{\circ }$ con él y su trabajo es negativo:

$W_r=-F_{r}L=-\mathrm{8,49}\cdot 20$

$W_r=-170\text{ J}$

iii) El rozamiento es la única fuerza no conservativa, de modo que su trabajo es igual a la variación de energía mecánica. El bloque parte del reposo desde una altura de 10 m y llega a la base con energía potencial nula:

$W_r=(\frac{1}{2}m{v}^2+0)-(0+mgh)$

$\frac{1}{2}m{v}^2=mgh+W_r=5\cdot \mathrm{9,8}\cdot 10-170=490-170=320\text{ J}$

$v=\sqrt{\frac{2\cdot 320}{5}}=\mathrm{11,3}\text{ m/s}$

El bloque llega a la base con 11,3 m/s. Sin rozamiento habría llegado con $\sqrt{2gh}=\mathrm{14,0}\text{ m/s}$: el rozamiento se lleva 170 de los 490 J disponibles, algo más de un tercio.