Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2021

a) Discuta razonadamente la veracidad de las siguientes frases: i) El trabajo realizado por una fuerza conservativa para desplazar un cuerpo es nulo si la trayectoria es cerrada. ii) En el descenso de un objeto por un plano inclinado con rozamiento, la disminución de su energía potencial se corresponde con el aumento de su energía cinética. [1 punto]

b) Un objeto de 2 kg, inicialmente en reposo, asciende por un plano inclinado de ${30}^{\circ }$ respecto a la horizontal debido a la acción de una fuerza de 30 N paralela a dicho plano. El coeficiente de rozamiento entre el bloque y el plano es 0,1. i) Dibuje todas las fuerzas que actúan sobre el objeto y calcule sus módulos. ii) Mediante consideraciones energéticas, determine la variación de energía cinética, potencial y mecánica cuando el objeto ha ascendido una altura de 1,5 m. [1,5 puntos]

Dato: $g=\mathrm{9,8}\text{ m}{\text{s}}^{-2}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Discuta}}\mathbf{\text{razonadamente}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{veracidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{siguientes}}\mathbf{\text{frases:}}\mathbf{\text{i)}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{trabajo}}\mathbf{\text{realizado}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{fuerza}}\mathbf{\text{conservativa}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{desplazar}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{cuerpo}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{nulo}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{trayectoria}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{cerrada.}}\mathbf{\text{ii)}}\mathbf{\text{En}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{descenso}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{objeto}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{plano}}\mathbf{\text{inclinado}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{rozamiento,}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{disminuci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{energ}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{potencial}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{corresponde}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{aumento}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{energ}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{cin}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{tica.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

i) La afirmación es verdadera, y de hecho es una de las definiciones equivalentes de fuerza conservativa. El trabajo de una fuerza conservativa entre dos puntos es igual a la disminución de la energía potencial:

$W_{A\to B}=E_p(A)-E_p(B)$

Si la trayectoria es cerrada, el punto final coincide con el inicial y las dos energías potenciales son la misma:

$W=E_p(A)-E_p(A)=0$

El trabajo es nulo. Dicho de otro modo, el trabajo de una fuerza conservativa solo depende de las posiciones inicial y final, no del camino recorrido.

ii) La afirmación es falsa. En el descenso actúan el peso, que es conservativo, y el rozamiento, que no lo es. Aplicando el teorema de la energía mecánica:

$W_r=\mathrm{\Delta }{E}_m=\mathrm{\Delta }{E}_c+\mathrm{\Delta }{E}_p$

$\mathrm{\Delta }{E}_c=-\mathrm{\Delta }{E}_p+W_r$

Como el trabajo del rozamiento es negativo, el aumento de energía cinética es menor que la disminución de energía potencial: parte de la energía potencial que pierde el objeto no aparece como energía cinética, sino que se disipa en forma de calor. Solo si el plano fuese liso se cumpliría la igualdad de la frase.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Un}}\mathbf{\text{objeto}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{2}}\mathbf{\text{kg,}}\mathbf{\text{inicialmente}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{reposo,}}\mathbf{\text{asciende}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{plano}}\mathbf{\text{inclinado}}\mathbf{\text{de}}\mathrm{<msup><mn\; mathvariant="bold">30</mn><mo\; mathvariant="bold-italic">\circ </mo></msup>}\mathbf{\text{respecto}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{horizontal}}\mathbf{\text{debido}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{acci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{fuerza}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{30}}\mathbf{\text{N}}\mathbf{\text{paralela}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{dicho}}\mathbf{\text{plano.}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{coeficiente}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{rozamiento}}\mathbf{\text{entre}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{bloque}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{plano}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{0,1.}}\mathbf{\text{i)}}\mathbf{\text{Dibuje}}\mathbf{\text{todas}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{fuerzas}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{act}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{an}}\mathbf{\text{sobre}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{objeto}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{calcule}}\mathbf{\text{sus}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{dulos.}}\mathbf{\text{ii)}}\mathbf{\text{Mediante}}\mathbf{\text{consideraciones}}\mathbf{\text{energ}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{ticas,}}\mathbf{\text{determine}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{variaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{energ}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{cin}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{tica,}}\mathbf{\text{potencial}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{mec}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{nica}}\mathbf{\text{cuando}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{objeto}}\mathbf{\text{ha}}\mathbf{\text{ascendido}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{altura}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{1,5}}\mathbf{\text{m.}}\mathbf{\text{[1,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$










i) Sobre el objeto actúan cuatro fuerzas: el peso, la normal, la fuerza aplicada de 30 N paralela al plano y hacia arriba, y el rozamiento, que se opone al movimiento y por tanto apunta hacia abajo del plano.

El peso vale:

$P=mg=2\cdot \mathrm{9,8}=\mathrm{19,6}\text{ N}$





La normal equilibra la componente del peso perpendicular al plano:

$N=mg\cos {30}^{\circ }=\mathrm{19,6}\cdot \mathrm{0,866}=\mathrm{16,97}\text{ N}$

Y el rozamiento se obtiene de la normal:

$F_r=\mu N=\mathrm{0,1}\cdot \mathrm{16,97}=\mathrm{1,70}\text{ N}$

Conviene anotar también la componente del peso paralela al plano, que es la que se opone al ascenso:

$P_x=mg\mathrm{sen}{30}^{\circ }=\mathrm{19,6}\cdot \mathrm{0,5}=\mathrm{9,8}\text{ N}$

ii) La distancia recorrida a lo largo del plano se obtiene de la altura ascendida:

$L=\frac{h}{\mathrm{sen}{30}^{\circ }}=\frac{\mathrm{1,5}}{\mathrm{0,5}}=3\text{ m}$

La variación de energía potencial depende solo de la altura:

$\mathrm{\Delta }{E}_p=mgh=2\cdot \mathrm{9,8}\cdot \mathrm{1,5}=\mathrm{29,4}\text{ J}$

La variación de energía mecánica es el trabajo de las fuerzas no conservativas, que son la aplicada y el rozamiento:

$\mathrm{\Delta }{E}_m=W_F+W_r=30\cdot 3-\mathrm{1,70}\cdot 3=90-\mathrm{5,09}$

$\mathrm{\Delta }{E}_m=\mathrm{84,9}\text{ J}$

Y la variación de energía cinética se obtiene por diferencia:

$\mathrm{\Delta }{E}_c=\mathrm{\Delta }{E}_m-\mathrm{\Delta }{E}_p=\mathrm{84,9}-\mathrm{29,4}$

$\mathrm{\Delta }{E}_c=\mathrm{55,5}\text{ J}$

De los 90 J que aporta la fuerza aplicada, 29,4 J se almacenan como energía potencial, 5,1 J los disipa el rozamiento y los 55,5 J restantes se convierten en energía cinética. Como el objeto partía del reposo, esa es directamente su energía cinética al llegar a esa altura.