Ejercicio resuelto de Campo electromagnético · Física · 2022

a) Una espira conductora circular gira alrededor de uno de sus diámetros con velocidad angular constante en una región donde hay un campo magnético uniforme perpendicular al eje de rotación. Razone qué le ocurre al valor de la máxima fuerza electromotriz inducida en la espira si: i) se duplica el radio de la espira; ii) se duplica el periodo de rotación. [1 punto]

b) Una bobina circular de 75 espiras de 0,03 m de radio está dentro de un campo magnético cuyo módulo aumenta a ritmo constante de 4 a 10 T en 4 s, y cuya dirección forma un ángulo de ${60}^{\circ }$ con el eje de la bobina. i) Calcule la fuerza electromotriz inducida en la bobina y razone, con la ayuda de un esquema, el sentido de la corriente inducida. ii) Si la bobina pudiera girarse, razone cómo debería orientarse para que no se produjera corriente, y para que esa corriente fuera la mayor posible. [1,5 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Una}}\mathbf{\text{espira}}\mathbf{\text{conductora}}\mathbf{\text{circular}}\mathbf{\text{gira}}\mathbf{\text{alrededor}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{uno}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{sus}}\mathbf{\text{di}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{metros}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{angular}}\mathbf{\text{constante}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{regi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{donde}}\mathbf{\text{hay}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{campo}}\mathbf{\text{magn}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{tico}}\mathbf{\text{uniforme}}\mathbf{\text{perpendicular}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{eje}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{rotaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}\mathbf{\text{Razone}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{le}}\mathbf{\text{ocurre}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{xima}}\mathbf{\text{fuerza}}\mathbf{\text{electromotriz}}\mathbf{\text{inducida}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{espira}}\mathbf{\text{si:}}\mathbf{\text{i)}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{duplica}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{radio}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{espira;}}\mathbf{\text{ii)}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{duplica}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{periodo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{rotaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Al girar la espira, el ángulo entre el campo y su vector superficie cambia uniformemente con el tiempo, de modo que el flujo es:

$\mathrm{\Phi }(t)=BS\cos (\omega t)$

Y aplicando la ley de Faraday-Lenz:

$\epsilon =-\frac{d\mathrm{\Phi }}{dt}=BS\omega \mathrm{sen}(\omega t)$

La fuerza electromotriz es alterna y su valor máximo se alcanza cuando el seno vale la unidad:

${\epsilon }_{\max }=BS\omega =B\pi R^2\frac{2\pi }{T}$

i) Si se duplica el radio, la superficie se hace cuatro veces mayor, porque depende del cuadrado del radio:

${\epsilon }_{\max }^{}=B\pi (2R{)}^2\omega =4{\epsilon }_{\max }$

La fuerza electromotriz máxima se multiplica por cuatro.

ii) Si se duplica el periodo, la velocidad angular se reduce a la mitad:

${\omega }^{\mathrm{\prime }}=\frac{2\pi }{2T}=\frac{\omega }{2}\Rightarrow {\epsilon }_{\max }^{}=\frac{{\epsilon }_{\max }}{2}$

La fuerza electromotriz máxima se reduce a la mitad: girar más despacio hace que el flujo varíe más lentamente y se induzca menos.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Una}}\mathbf{\text{bobina}}\mathbf{\text{circular}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{75}}\mathbf{\text{espiras}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{0,03}}\mathbf{\text{m}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{radio}}\mathbf{\text{est}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{dentro}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{campo}}\mathbf{\text{magn}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{tico}}\mathbf{\text{cuyo}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{dulo}}\mathbf{\text{aumenta}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{ritmo}}\mathbf{\text{constante}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{4}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{10}}\mathbf{\text{T}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{4}}\mathbf{\text{s,}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{cuya}}\mathbf{\text{direcci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{forma}}\mathbf{\text{un}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ngulo}}\mathbf{\text{de}}\mathrm{<msup><mn\; mathvariant="bold">60</mn><mo\; mathvariant="bold-italic">\circ </mo></msup>}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{eje}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{bobina.}}\mathbf{\text{i)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{fuerza}}\mathbf{\text{electromotriz}}\mathbf{\text{inducida}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{bobina}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{razone,}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{ayuda}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{esquema,}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sentido}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{corriente}}\mathbf{\text{inducida.}}\mathbf{\text{ii)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{bobina}}\mathbf{\text{pudiera}}\mathbf{\text{girarse,}}\mathbf{\text{razone}}\mathbf{\text{c}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{mo}}\mathbf{\text{deber}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{orientarse}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{produjera}}\mathbf{\text{corriente,}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{esa}}\mathbf{\text{corriente}}\mathbf{\text{fuera}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{mayor}}\mathbf{\text{posible.}}\mathbf{\text{[1,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$










i) El eje de la bobina es la dirección de su vector superficie, así que el ángulo entre el campo y la superficie es el que da el enunciado. El flujo a través de las $N$ espiras es:

$\mathrm{\Phi }=NBS\cos {60}^{\circ }$

y aquí lo único que varía con el tiempo es el módulo del campo.





Se calcula la superficie de una espira y el ritmo de variación del campo:

$S=\pi R^2=\pi (\mathrm{0,03}{)}^2=\mathrm{2,83}\cdot {10}^{-3}{\text{m}}^2$

$\frac{dB}{dt}=\frac{10-4}{4}=\mathrm{1,5}\text{ T/s}$

Aplicando la ley de Faraday-Lenz:

$\epsilon =-NS\cos {60}^{\circ }\frac{dB}{dt}=-75\cdot \mathrm{2,83}\cdot {10}^{-3}\cdot \mathrm{0,5}\cdot \mathrm{1,5}$

$\epsilon =-\mathrm{0,159}\text{ V}$

El módulo de la fuerza electromotriz inducida es de 0,159 V. En cuanto al sentido, el flujo a través de la bobina está aumentando, así que por la ley de Lenz la corriente inducida circula en el sentido que crea dentro de la bobina un campo opuesto al externo, es decir, en sentido horario visto desde el extremo de la bobina hacia el que apunta el campo.

ii) No se induciría corriente si el eje de la bobina se colocase perpendicular al campo:

$\alpha ={90}^{\circ }\Rightarrow \cos \alpha =0\Rightarrow \mathrm{\Phi }=0\text{ en todo instante}$

Aunque el campo siga creciendo, ninguna línea atravesaría la bobina y no habría nada que variar.

La corriente sería máxima si el eje se colocase paralelo al campo:

$\alpha =0^{\circ }\Rightarrow \cos \alpha =1\Rightarrow \epsilon =-NS\frac{dB}{dt}=-\mathrm{0,318}\text{ V}$

Es el doble de la fuerza electromotriz obtenida en el apartado anterior, porque el coseno pasa de 0,5 a 1.