Ejercicio resuelto de Campo electromagnético · Física · 2023

Una espira cuadrada de lado $a=2\text{ m}$ se sitúa en el plano $XY$, y se activa un campo magnético en la dirección $Z$ positiva. Este campo es variable en el tiempo, y su módulo en teslas se expresa como $B(t)=\mathrm{0,04}{t}^2$. Detectamos que aparece en la espira una corriente inducida de $200\text{ mA}$ cuando $t=10\text{ s}$.

a) Determine razonadamente la resistencia de la espira e indique en un esquema el sentido que tendrá la corriente.

b) Razone cuánto valdría la corriente inducida en los siguientes casos:

• Se cambia la dirección del campo de modo que forme ${60}^{\circ }$ con el eje $Z$.

• La espira se coloca en el plano $XZ$.

• La espira se coloca en el plano $YZ$.

c) Volviendo al caso en que está colocada en $XY$ y el campo a lo largo de $Z$, ocurre que, como la corriente inducida circula en presencia del mencionado campo externo, sobre cada tramo de la espira aparecerá una fuerza. Calcúlela en $t=3\text{ s}$ indicando módulo, dirección y sentido para cada tramo del cuadrado, y determine la fuerza total que sufrirá la espira.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{razonadamente}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{resistencia}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{espira}}\mathbf{\text{e}}\mathbf{\text{indique}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{esquema}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sentido}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{tendr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{corriente.}}$










La espira está en el plano $XY$ y el campo lleva la dirección del eje $Z$, de modo que campo y vector superficie son paralelos y el flujo es simplemente:

$\mathrm{\Phi }=B(t)S=\mathrm{0,04}{t}^2\cdot a^2$

Por la ley de Faraday, la fuerza electromotriz inducida es la derivada del flujo cambiada de signo:

$\epsilon =-{\displaystyle \frac{d\mathrm{\Phi }}{dt}}=-\mathrm{0,08}t{a}^2$





Con $a=2\text{ m}$, el área es $S=4{\text{m}}^2$, y en el instante que da el enunciado:

$\mathrm{\mid }\epsilon \mathrm{\mid }=\mathrm{0,08}\cdot 10\cdot 4=\mathrm{3,2}\text{ V}$

Aplicando la ley de Ohm al circuito:

$R={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }\epsilon \mathrm{\mid }}{I}}={\displaystyle \frac{\mathrm{3,2}}{\mathrm{0,200}}}=16\mathrm{\Omega }$

En cuanto al sentido, la ley de Lenz dice que la corriente inducida se opone a la variación que la produce. Aquí el flujo saliente crece, así que la corriente inducida crea dentro de la espira un campo entrante: circula en sentido horario vista desde el semieje $Z$ positivo.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Razone}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{nto}}\mathbf{\text{valdr}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{corriente}}\mathbf{\text{inducida}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{siguientes}}\mathbf{\text{casos.}}$

En los tres casos lo único que cambia es el ángulo entre el campo y el vector superficie, ya que el flujo es:

$\mathrm{\Phi }=BS\cos \alpha$

i) Si el campo forma ${60}^{\circ }$ con el eje $Z$, el flujo queda multiplicado por $\cos {60}^{\circ }=\mathrm{0,5}$, y con él la fuerza electromotriz y la corriente:

$I=\mathrm{0,5}\cdot 200=100\text{ mA}=\mathrm{0,1}\text{ A}$

ii) Si la espira se coloca en el plano $XZ$, su vector superficie apunta según el eje $Y$, perpendicular al campo:

$\mathrm{\Phi }=BS\cos {90}^{\circ }=0$

El flujo es nulo en todo instante, así que su derivada también lo es y no hay corriente inducida: $I=0$.

iii) Si la espira se coloca en el plano $YZ$, su vector superficie apunta según el eje $X$, de nuevo perpendicular al campo, y por el mismo motivo $I=0$.



Primero se calculan la corriente y el campo en ese instante:

$\mathrm{\mid }\epsilon \mathrm{\mid }=\mathrm{0,08}\cdot 3\cdot 4=\mathrm{0,96}\text{ V}$

$I={\displaystyle \frac{\mathrm{0,96}}{16}}=\mathrm{0,06}\text{ A}$

$B(3)=\mathrm{0,04}\cdot 3^2=\mathrm{0,36}\text{ T}$

La fuerza sobre un tramo rectilíneo de corriente en un campo magnético es:

$\vec{F}=I\vec{L}\times \vec{B}$

Los cuatro lados están contenidos en el plano $XY$ y el campo es perpendicular a ese plano, de manera que en los cuatro el ángulo entre $\vec{L}$ y $\vec{B}$ es de ${90}^{\circ }$ y el módulo de la fuerza es el mismo:

$F=IaB=\mathrm{0,06}\cdot 2\cdot \mathrm{0,36}=\mathrm{4,32}\cdot {10}^{-2}\text{ N}$

La dirección de cada una es perpendicular al lado correspondiente y perpendicular al campo, es decir, contenida en el plano de la espira. Y el sentido, el que da el producto vectorial: como se ve en el esquema, las cuatro apuntan hacia el interior de la espira, que tiende por tanto a comprimirse.

La fuerza total es la suma vectorial de las cuatro. Las de dos lados opuestos tienen el mismo módulo y sentidos contrarios, de modo que se cancelan dos a dos:

${\vec{F}}_{\text{total}}=\vec{0}$

Es el resultado general para una espira cerrada en un campo magnético uniforme: la resultante es siempre nula, y lo único que puede aparecer es un momento de fuerzas que la haga girar, que aquí tampoco existe porque el campo es perpendicular al plano de la espira.