Ejercicio resuelto de Campo eléctrico · Física · Andalucía · 2023

a) Una carga $q$ positiva está separada una distancia $d$ de otra carga $Q$. i) Razone, ayudándose de un esquema, cuál debe ser el signo de $Q$ para que el campo eléctrico se anule en algún punto del segmento que las une. ii) Razone cuál debe ser el signo de $Q$ para que se anule el potencial eléctrico en algún punto del segmento que las une. [1 punto]

b) Una carga $Q$ situada en el origen de coordenadas crea un potencial de 3000 V en el punto $A(5,0)\text{ m}$. i) Determine el valor de la carga $Q$. ii) Si se sitúa una segunda carga de $2\cdot {10}^{-5}\text{ C}$ en el punto $A$, calcule la variación de la energía potencial eléctrica y de la energía cinética de dicha carga cuando se desplaza al punto $B(10,0)\text{ m}$. [1,5 puntos]

Dato: $K=9\cdot {10}^9\text{ N}{\text{m}}^2{\text{C}}^{-2}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Una}}\mathbf{\text{carga}}\mathit{q}\mathbf{\text{positiva}}\mathbf{\text{est}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{separada}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{distancia}}\mathit{d}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{otra}}\mathbf{\text{carga}}\mathit{Q}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{i)}}\mathbf{\text{Razone,}}\mathbf{\text{ayud}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ndose}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{esquema,}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{debe}}\mathbf{\text{ser}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{signo}}\mathbf{\text{de}}\mathit{Q}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{campo}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{ctrico}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{anule}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{alg}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{punto}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{segmento}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{une.}}\mathbf{\text{ii)}}\mathbf{\text{Razone}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{debe}}\mathbf{\text{ser}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{signo}}\mathbf{\text{de}}\mathit{Q}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{anule}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{potencial}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{ctrico}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{alg}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{punto}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{segmento}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{une.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$










i) El campo eléctrico es una magnitud vectorial, y para que se anule en un punto las dos contribuciones han de tener sentidos opuestos.

En un punto del segmento que une las cargas, el campo de la carga positiva $q$ se aleja de ella. Para que el de $Q$ apunte en sentido contrario, $Q$ tiene que empujar el campo hacia $q$, es decir, alejarlo de sí misma: $Q$ debe ser positiva.





Si $Q$ fuese negativa, su campo apuntaría hacia ella y en todo el segmento tendría el mismo sentido que el de $q$: los dos se sumarían y no podrían anularse. El signo de $Q$ ha de ser, por tanto, positivo, y entonces existe siempre un punto interior donde:

$K\frac{q}{x^2}=K\frac{Q}{(d-x{)}^2}$

ii) El potencial eléctrico es una magnitud escalar y sus contribuciones se suman con su signo:

$V=K\frac{q}{x}+K\frac{Q}{d-x}$

El primer sumando es positivo. Para que la suma pueda anularse, el segundo tiene que ser negativo, de modo que $Q$ ha de ser negativa. Además, la condición de potencial nulo es:

$\frac{q}{x}=\frac{\mathrm{\mid }Q\mathrm{\mid }}{d-x}$

Se ve así que las dos condiciones son incompatibles: el campo solo se anula si las cargas tienen el mismo signo y el potencial solo si lo tienen contrario. Nunca se anulan los dos a la vez en el mismo segmento.



i) El potencial creado por una carga puntual a una distancia $r$ es:

$V=K\frac{Q}{r}\Rightarrow Q=\frac{Vr}{K}$

$Q=\frac{3000\cdot 5}{9\cdot {10}^9}=\mathrm{1,67}\cdot {10}^{-6}\text{ C}$

La carga es positiva, como corresponde a un potencial positivo.

ii) Se calcula primero el potencial en el punto $B$, que está al doble de distancia:

$V_B=K\frac{Q}{r_B}=9\cdot {10}^9\cdot \frac{\mathrm{1,67}\cdot {10}^{-6}}{10}=1500\text{ V}$

Es la mitad del potencial en $A$, como era de esperar al haberse duplicado la distancia.

La variación de energía potencial de la segunda carga es:

$\mathrm{\Delta }{E}_p=q(V_B-V_A)=2\cdot {10}^{-5}(1500-3000)$

$\mathrm{\Delta }{E}_p=-3\cdot {10}^{-2}\text{ J}$

La energía potencial disminuye, lo que era previsible: las dos cargas son positivas, se repelen, y al separarse el sistema pierde energía potencial.

Como la fuerza eléctrica es conservativa y es la única que actúa, la energía mecánica se conserva y toda esa energía potencial se convierte en cinética:

$\mathrm{\Delta }{E}_c+\mathrm{\Delta }{E}_p=0\Rightarrow \mathrm{\Delta }{E}_c=+3\cdot {10}^{-2}\text{ J}$

La carga se aleja acelerándose y gana $3\cdot {10}^{-2}\text{ J}$ de energía cinética, exactamente los mismos que pierde de energía potencial.