Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2021

Para estimar la proporción de residentes británicos en España que están a favor de la salida del Reino Unido de la Unión Europea (UE), se toma una muestra aleatoria de 250 de estos residentes, obteniéndose que 115 estaban a favor de dejar de pertenecer a la UE.

a) Calcule un intervalo de confianza al 99,5 %, para estimar la proporción real de esos residentes que está a favor de la salida del Reino Unido de la UE. (1,5 puntos)

b) Manteniendo la misma proporción muestral y el mismo nivel de confianza del apartado anterior, determine el tamaño mínimo necesario de la muestra, para estimar la proporción de residentes británicos en España que están a favor de la salida del Reino Unido de la UE, con un error inferior al 5 %. (1 punto)

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{intervalo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{confianza}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{99,5}}\mathbf{\text{\%,}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{estimar}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{proporci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{real}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{esos}}\mathbf{\text{residentes}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{est}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{favor}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{salida}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{Reino}}\mathbf{\text{Unido}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{UE.}}\mathbf{\text{(1,5}}\mathbf{\text{puntos)}}$

La proporción muestral es

$\widehat{p}={\displaystyle \frac{115}{250}}=\mathrm{0,46}\widehat{q}=1-\mathrm{0,46}=\mathrm{0,54}$

Para un nivel de confianza del 99,5 % se tiene $1-\alpha =\mathrm{0,995}$, luego $\alpha \mathrm{/}2=\mathrm{0,0025}$ y

$P(Z\le z_{\alpha \mathrm{/}2})=\mathrm{0,9975}\Rightarrow z_{\alpha \mathrm{/}2}=\mathrm{2,81}$

El intervalo de confianza para la proporción poblacional es

$(\widehat{p}-z_{\alpha \mathrm{/}2}\sqrt{{\displaystyle \frac{\widehat{p}\widehat{q}}{n}}},\widehat{p}+z_{\alpha \mathrm{/}2}\sqrt{{\displaystyle \frac{\widehat{p}\widehat{q}}{n}}})$

Calculamos el error máximo admisible.

$E=\mathrm{2,81}\sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{0,46}\cdot \mathrm{0,54}}{250}}}=\mathrm{2,81}\cdot \mathrm{0,031521}=\mathrm{0,0886}$

$I{C}_{\mathrm{99,5}\mathrm{\%}}=(\mathrm{0,46}-\mathrm{0,0886},\mathrm{0,46}+\mathrm{0,0886})=(\mathrm{0,3714},\mathrm{0,5486})$



Con una confianza del 99,5 %, la proporción de residentes británicos favorables a la salida está entre el 37,14 % y el 54,86 %.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Manteniendo}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{misma}}\mathbf{\text{proporci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{muestral}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{mismo}}\mathbf{\text{nivel}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{confianza}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{apartado}}\mathbf{\text{anterior,}}\mathbf{\text{determine}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{tama}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nimo}}\mathbf{\text{necesario}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{muestra,}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{estimar}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{proporci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{residentes}}\mathbf{\text{brit}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{nicos}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{Espa}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{est}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{favor}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{salida}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{Reino}}\mathbf{\text{Unido}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{UE,}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{error}}\mathbf{\text{inferior}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{5}}\mathbf{\text{\%.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

Imponemos que el error sea menor que $\mathrm{0,05}$ y despejamos $n$.

$E=z_{\alpha \mathrm{/}2}\sqrt{{\displaystyle \frac{\widehat{p}\widehat{q}}{n}}}<\mathrm{0,05}\Rightarrow \mathrm{2,81}\sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{0,46}\cdot \mathrm{0,54}}{n}}}<\mathrm{0,05}$

$n>{\left({\displaystyle \frac{\mathrm{2,81}}{\mathrm{0,05}}}\right)}^2\cdot \mathrm{0,46}\cdot \mathrm{0,54}=3\mathrm{158,44}\cdot \mathrm{0,2484}=\mathrm{784,56}$

Como el tamaño de la muestra ha de ser un número natural, hay que tomar como mínimo $785$ residentes.