Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2020

Se ha tomado una muestra de 16 pacientes tratados por un especialista y se ha observado que el tiempo de espera en su consulta, en minutos, ha sido de:

$8\mathrm{9,2}10\mathrm{8,5}129\mathrm{11,3}7\mathrm{8,5}\mathrm{8,3}\mathrm{7,6}9\mathrm{9,4}\mathrm{10,5}\mathrm{8,9}\mathrm{6,8}$

Supongamos que el tiempo de espera en esta consulta se distribuye según una ley Normal de varianza 4 y media desconocida.

a) Halle un intervalo de confianza al 97,5 % para estimar el tiempo medio de espera de los pacientes tratados por este especialista. (1,5 puntos)

b) ¿Cuál debería ser el tamaño mínimo de la muestra para asegurar, con un nivel de confianza del 90 %, que el error cometido sea, a lo sumo, de $\mathrm{0,3}$ minutos? (1 punto)

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Halle}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{intervalo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{confianza}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{97,5}}\mathbf{\text{\%}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{estimar}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{tiempo}}\mathbf{\text{medio}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{espera}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{pacientes}}\mathbf{\text{tratados}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{este}}\mathbf{\text{especialista.}}\mathbf{\text{(1,5}}\mathbf{\text{puntos)}}$

La población es normal de varianza conocida ${\sigma }^2=4$, luego

$\sigma =\sqrt{4}=2$

Calculamos la media de la muestra de $n=16$ pacientes.

$\bar{x}={\displaystyle \frac{8+\mathrm{9,2}+10+\mathrm{8,5}+12+9+\mathrm{11,3}+7+\mathrm{8,5}+\mathrm{8,3}+\mathrm{7,6}+9+\mathrm{9,4}+\mathrm{10,5}+\mathrm{8,9}+\mathrm{6,8}}{16}}={\displaystyle \frac{144}{16}}=9$

Para un nivel de confianza del 97,5 % se tiene $1-\alpha =\mathrm{0,975}$, luego $\alpha \mathrm{/}2=\mathrm{0,0125}$ y

$P(Z\le z_{\alpha \mathrm{/}2})=\mathrm{0,9875}\Rightarrow z_{\alpha \mathrm{/}2}=\mathrm{2,24}$

El intervalo de confianza para la media poblacional es

$(\bar{x}-z_{\alpha \mathrm{/}2}{\displaystyle \frac{\sigma }{\sqrt{n}}},\bar{x}+z_{\alpha \mathrm{/}2}{\displaystyle \frac{\sigma }{\sqrt{n}}})$

Calculamos el error máximo admisible.

$E=\mathrm{2,24}\cdot {\displaystyle \frac{2}{\sqrt{16}}}=\mathrm{2,24}\cdot \mathrm{0,5}=\mathrm{1,12}$

$I{C}_{\mathrm{97,5}\mathrm{\%}}=(9-\mathrm{1,12},9+\mathrm{1,12})=(\mathrm{7,88};\mathrm{10,12})$



Con una confianza del 97,5 %, el tiempo medio de espera está entre 7,88 y 10,12 minutos.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{deber}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{ser}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{tama}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nimo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{muestra}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{asegurar,}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{nivel}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{confianza}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{90}}\mathbf{\text{\%,}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{error}}\mathbf{\text{cometido}}\mathbf{\text{sea,}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{lo}}\mathbf{\text{sumo,}}\mathbf{\text{de}}\mathrm{<mn\; mathvariant="bold">0,3</mn>}\mathbf{\text{minutos?}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

Para un nivel de confianza del 90 % se tiene $\alpha \mathrm{/}2=\mathrm{0,05}$ y

$P(Z\le z_{\alpha \mathrm{/}2})=\mathrm{0,95}\Rightarrow z_{\alpha \mathrm{/}2}=\mathrm{1,645}$

Imponemos que el error no pase de $\mathrm{0,3}$ y despejamos $n$.

$E=z_{\alpha \mathrm{/}2}{\displaystyle \frac{\sigma }{\sqrt{n}}}\le \mathrm{0,3}\Rightarrow \mathrm{1,645}\cdot {\displaystyle \frac{2}{\sqrt{n}}}\le \mathrm{0,3}\Rightarrow \sqrt{n}\ge {\displaystyle \frac{\mathrm{3,29}}{\mathrm{0,3}}}=\mathrm{10,9667}$

$n\ge {\mathrm{10,9667}}^2=\mathrm{120,27}$

Como el tamaño de la muestra ha de ser un número natural, hay que tomar como mínimo $121$ pacientes.