Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2021

Sea $X$ una variable aleatoria que sigue una ley Normal de media poblacional desconocida y desviación típica 4.

a) ¿Cuál es la desviación típica de la distribución de las medias de las muestras de tamaño 12 de la variable aleatoria $X$? (0,5 puntos)

b) Para estimar la media poblacional de la variable $X$, se toma una muestra aleatoria de tamaño 12, obteniéndose los siguientes resultados:

$\mathrm{11,8}10\mathrm{9,8}12\mathrm{9,7}\mathrm{10,8}\mathrm{9,6}\mathrm{11,3}\mathrm{10,4}\mathrm{12,2}\mathrm{9,1}\mathrm{10,5}$

Con los datos obtenidos de la muestra, determine un intervalo de confianza al 97 % para estimar la media poblacional. (1 punto)

c) Calcule el tamaño mínimo que debe tener una muestra, para que, con el mismo nivel de confianza, el error cometido al estimar la media poblacional sea menor que $\mathrm{1,2}$. (1 punto)

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{desviaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{t}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{pica}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{distribuci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{medias}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{muestras}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{tama}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{12}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{variable}}\mathbf{\text{aleatoria}}\mathit{X}\mathbf{\text{?}}\mathbf{\text{(0,5}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Si la población es normal de desviación típica $\sigma$, la media muestral de las muestras de tamaño $n$ sigue la ley

$\bar{X}\sim N(\mu ,{\displaystyle \frac{\sigma }{\sqrt{n}}})$

Con $\sigma =4$ y $n=12$:

${\sigma }_{\bar{X}}={\displaystyle \frac{4}{\sqrt{12}}}={\displaystyle \frac{4}{2\sqrt{3}}}={\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}}}={\displaystyle \frac{2\sqrt{3}}{3}}\approx \mathrm{1,1547}$

La desviación típica de la distribución de las medias muestrales es ${\displaystyle \frac{2\sqrt{3}}{3}}\approx \mathrm{1,1547}$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Con}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{datos}}\mathbf{\text{obtenidos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{muestra,}}\mathbf{\text{determine}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{intervalo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{confianza}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{97}}\mathbf{\text{\%}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{estimar}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{media}}\mathbf{\text{poblacional.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

Calculamos primero la media muestral sumando los doce datos.

$\bar{x}={\displaystyle \frac{\mathrm{11,8}+10+\mathrm{9,8}+12+\mathrm{9,7}+\mathrm{10,8}+\mathrm{9,6}+\mathrm{11,3}+\mathrm{10,4}+\mathrm{12,2}+\mathrm{9,1}+\mathrm{10,5}}{12}}={\displaystyle \frac{\mathrm{127,2}}{12}}=\mathrm{10,6}$

Para un nivel de confianza del 97 % se tiene $\alpha \mathrm{/}2=\mathrm{0,015}$ y

$P(Z\le z_{\alpha \mathrm{/}2})=\mathrm{0,985}\Rightarrow z_{\alpha \mathrm{/}2}=\mathrm{2,17}$

El intervalo de confianza para la media poblacional es

$(\bar{x}-z_{\alpha \mathrm{/}2}{\displaystyle \frac{\sigma }{\sqrt{n}}},\bar{x}+z_{\alpha \mathrm{/}2}{\displaystyle \frac{\sigma }{\sqrt{n}}})$

Con la desviación típica de las medias muestrales calculada en el apartado anterior:

$E=\mathrm{2,17}\cdot \mathrm{1,1547}=\mathrm{2,5057}$

$I{C}_{97\mathrm{\%}}=(\mathrm{10,6}-\mathrm{2,5057},\mathrm{10,6}+\mathrm{2,5057})=(\mathrm{8,094};\mathrm{13,106})$



Con una confianza del 97 %, la media poblacional está entre $\mathrm{8,094}$ y $\mathrm{13,106}$.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{tama}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nimo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{debe}}\mathbf{\text{tener}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{muestra,}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{que,}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{mismo}}\mathbf{\text{nivel}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{confianza,}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{error}}\mathbf{\text{cometido}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{estimar}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{media}}\mathbf{\text{poblacional}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{menor}}\mathbf{\text{que}}\mathrm{<mn\; mathvariant="bold">1,2</mn>}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

Imponemos que el error sea menor que $\mathrm{1,2}$ y despejamos $n$.

$E=z_{\alpha \mathrm{/}2}{\displaystyle \frac{\sigma }{\sqrt{n}}}<\mathrm{1,2}\Rightarrow \mathrm{2,17}\cdot {\displaystyle \frac{4}{\sqrt{n}}}<\mathrm{1,2}$

$\sqrt{n}>{\displaystyle \frac{\mathrm{2,17}\cdot 4}{\mathrm{1,2}}}=\mathrm{7,2333}\Rightarrow n>{\mathrm{7,2333}}^2=\mathrm{52,32}$

Como el tamaño de la muestra ha de ser un número natural, hay que tomar como mínimo $53$ observaciones.