Ejercicio resuelto de Cinética química · Química · 2020

La constante de velocidad de una reacción tiene un valor de $\mathrm{0,25}{\text{s}}^{-1}$ a 25 °C. Sabiendo que la constante de velocidad se duplica a 35 °C, calcule:

a) La energía de activación ($E_a$). [1,0 punto]

b) El factor de frecuencia (A). [0,5 puntos]

c) El orden global de la reacción. [0,5 puntos]

Datos: $R=\mathrm{8,314}\text{ J}\cdot {\text{mol}}^{-1}\cdot {\text{K}}^{-1}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{energ}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{activaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}\mathbf{\text{[1,0}}\mathbf{\text{punto]}}$

La dependencia de la constante de velocidad con la temperatura la da la ecuación de Arrhenius:

$k=A{e}^{-E_a\mathrm{/}RT}$

Escribiéndola para las dos temperaturas y dividiendo, el factor de frecuencia se cancela y queda la forma logarítmica:

$\ln \frac{k_2}{k_1}=\frac{E_a}{R}(\frac{1}{T_1}-\frac{1}{T_2})$

El dato es que la constante se duplica, que es todo lo que hace falta:

$\frac{k_2}{k_1}=2\Rightarrow \ln 2=\mathrm{0,693}$

$T_1=25+273=298\mathrm{K}{T}_2=35+273=308\mathrm{K}$

$\frac{1}{298}-\frac{1}{308}=\frac{308-298}{298\cdot 308}=\frac{10}{91784}=\mathrm{1,090}\cdot {10}^{-4}{\mathrm{K}}^{-1}$

$E_a=\frac{R\ln 2}{{\displaystyle \frac{1}{T_1}}-{\displaystyle \frac{1}{T_2}}}=\frac{\mathrm{8,314}\cdot \mathrm{0,693}}{\mathrm{1,090}\cdot {10}^{-4}}=\frac{\mathrm{5,762}}{\mathrm{1,090}\cdot {10}^{-4}}$

$E_a=\mathrm{5,29}\cdot {10}^4\mathrm{J}\mathrm{/}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{l}=\mathrm{52,9}\mathrm{k}\mathrm{J}\mathrm{/}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{l}$

El valor es del orden habitual en reacciones químicas corrientes, y concuerda con la regla empírica de que subir diez grados alrededor de la temperatura ambiente suele duplicar la velocidad.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{factor}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{frecuencia}}\mathbf{\text{(A).}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Ahora se usa la ecuación de Arrhenius sin dividir, con cualquiera de los dos pares de valores. Tomando el primero y despejando:

$k=A{e}^{-E_a\mathrm{/}RT}\Rightarrow A=k{e}^{E_a\mathrm{/}RT}$

$\frac{E_a}{RT}=\frac{\mathrm{5,29}\cdot {10}^4}{\mathrm{8,314}\cdot 298}=\frac{\mathrm{5,29}\cdot {10}^4}{2478}=\mathrm{21,35}$

$A=\mathrm{0,25}\cdot e^{\mathrm{21,35}}=\mathrm{0,25}\cdot \mathrm{1,87}\cdot {10}^9$

$A=\mathrm{4,67}\cdot {10}^8{\mathrm{s}}^{-1}$

Nótese que $A$ tiene las mismas unidades que $k$, porque el exponencial es adimensional. Comprobación con la otra temperatura: $\mathrm{4,67}\cdot {10}^8\cdot e^{-52900\mathrm{/}(\mathrm{8,314}\cdot 308)}=\mathrm{0,50}{\mathrm{s}}^{-1}$, que es el doble de la constante inicial, como pedía el enunciado.

El factor de frecuencia se interpreta como el número de choques por segundo con la orientación adecuada; el exponencial es la fracción de ellos que además tiene energía suficiente.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{orden}}\mathbf{\text{global}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{reacci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Las unidades de la constante delatan el orden total, porque tienen que ser justo las que hacen que $k[{]}^n$ salga en $\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{l}\cdot {\mathrm{L}}^{-1}\cdot {\mathrm{s}}^{-1}$.

En general, para un orden total $n$:

$[k]={\mathrm{L}}^{n-1}\cdot {\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{l}}^{1-n}\cdot {\mathrm{s}}^{-1}$

El dato es ${\mathrm{s}}^{-1}$, sin litros ni moles, lo que exige que los dos exponentes sean cero:

$n-1=0\Rightarrow n=1$

La reacción es de $\mathbf{\text{primer}}\mathbf{\text{orden}}$ (orden global 1).