Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

Un taller de confección fabrica abrigos y cazadoras. Para ello dispone semanalmente de $80{\text{m}}^2$ de tela de forro y $120{\text{m}}^2$ de tela de paño. Un abrigo requiere $1{\text{m}}^2$ de tela de forro y $3{\text{m}}^2$ de tela de paño y una cazadora requiere $2{\text{m}}^2$ de cada una de las telas. Si en cada abrigo gana 80 € y en cada cazadora 70 €, calcule, justificando las respuestas:

a) El número de abrigos y de cazadoras que debe confeccionar semanalmente para hacer máximos los beneficios. [1,5 puntos]

b) El valor de dichos beneficios máximos. [0,5 puntos]

Llamamos $x$ al número de abrigos e $y$ al número de cazadoras que se confeccionan cada semana.

Ordenamos en una tabla la información del enunciado.

$$	${\text{Forro (m}}^2\text{)}$	${\text{Pa}\tilde{\text{n}}\text{o (m}}^2\text{)}$	$\text{Beneficio (euros)}$ Abrigos	$x$	$3x$	$80x$ Cazadoras	$2y$	$2y$	$70y$ Totales	$x+2y$	$3x+2y$	$80x+70y$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{mero}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{abrigos}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{cazadoras}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{debe}}\mathbf{\text{confeccionar}}\mathbf{\text{semanalmente}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{hacer}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximos}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{beneficios.}}\mathbf{\text{[1,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

La función objetivo, que se quiere maximizar, es el beneficio:

$B(x,y)=80x+70y$

Las restricciones son la tela disponible de cada clase y que las cantidades no pueden ser negativas.

$\{\begin{array}{l}x+2y\le 80\\ 3x+2y\le 120\\ x\ge 0;y\ge 0\end{array}$

Las coordenadas de los vértices de la región factible se obtienen resolviendo los sistemas de las rectas que se cortan en cada uno.

Vértice $O$: corte de los dos ejes, $O(0,0)$.

Vértice $A$:

$\{\begin{array}{l}x=0\\ x+2y=80\end{array}\Rightarrow 2y=80\Rightarrow A(0,40)$

Vértice $B$:

$\{\begin{array}{l}x+2y=80\\ 3x+2y=120\end{array}\Rightarrow 2x=40\Rightarrow x=20,y=30\Rightarrow B(20,30)$

Vértice $C$:

$\{\begin{array}{l}3x+2y=120\\ y=0\end{array}\Rightarrow 3x=120\Rightarrow C(40,0)$

Valoramos la función beneficio en cada uno de los vértices.

$B(0,0)=0\text{ euros}$

$B(0,40)=70\cdot 40=2800\text{ euros}$

$B(20,30)=80\cdot 20+70\cdot 30=1600+2100=3700\text{ euros}$

$B(40,0)=80\cdot 40=3200\text{ euros}$

El mayor de los cuatro valores se alcanza en el vértice $B(20,30)$.

El taller debe confeccionar cada semana 20 abrigos y 30 cazadoras.



$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{dichos}}\mathbf{\text{beneficios}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximos.}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

El beneficio en ese vértice es el valor que ya se ha calculado.

$B(20,30)=3700\text{ euros}$

El beneficio máximo semanal es de 3700 euros.