Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2021

Obtenga la expresión de la velocidad que debe tener un cuerpo para escapar de un planeta de masa $M$ y radio $R$. ¿Cuánto vale la velocidad de escape del planeta Marte?

Datos: $G=\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\text{ N}{\text{m}}^2{\text{kg}}^{-2}$; $M_{\text{Marte}}=\mathrm{6,40}\cdot {10}^{23}\text{ kg}$; $R_{\text{Marte}}=3320\text{ km}$.

La velocidad de escape es la mínima con la que hay que lanzar un cuerpo desde la superficie para que se aleje indefinidamente, es decir, para que llegue al infinito con velocidad nula.

Como el campo gravitatorio es conservativo, la energía mecánica se conserva y en el infinito ambas contribuciones se anulan.





$E_c(R)+E_p(R)=E_c(\mathrm{\infty })+E_p(\mathrm{\infty })=0$

${\displaystyle \frac{1}{2}}m{v}_{\text{esc}}^2-G{\displaystyle \frac{Mm}{R}}=0$

Se simplifica la masa del cuerpo, que no interviene en el resultado:

${\displaystyle \frac{1}{2}}{v}_{\text{esc}}^2={\displaystyle \frac{GM}{R}}\Rightarrow v_{\text{esc}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{2GM}{R}}}$

Aplicándolo a Marte, con el radio en unidades del Sistema Internacional, $R=3320\text{ km}=\mathrm{3,32}\cdot {10}^6\text{ m}$:

$v_{\text{esc}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{2\cdot \mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{6,40}\cdot {10}^{23}}{\mathrm{3,32}\cdot {10}^6}}}=\mathrm{5,07}\cdot {10}^3\text{ m/s}$

La velocidad de escape de Marte es de $\mathrm{5,07}\text{ km/s}$, menos de la mitad de la terrestre, que vale $\mathrm{11,2}\text{ km/s}$.