Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2021

Un satélite artificial de masa $1000\text{ kg}$ se mueve alrededor de la Tierra siguiendo una órbita circular de $8000\text{ km}$ de radio. Calcule:

a) La velocidad orbital del satélite y el periodo de revolución.

b) La intensidad de campo gravitatorio a dicha altura y la fuerza que ejerce la Tierra sobre el satélite.

c) La energía con la que se debe lanzar el satélite desde la superficie de la Tierra para situarlo en la órbita.

Datos: $G=\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}$ unidades SI; $M_T=\mathrm{5,98}\cdot {10}^{24}\text{ kg}$; $R_T=6370\text{ km}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{orbital}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{sat}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{lite}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{periodo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{revoluci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}$










En una órbita circular la única fuerza sobre el satélite es la gravitatoria, y es la que hace de fuerza centrípeta:

$G{\displaystyle \frac{M_{T}m}{r^2}}={\displaystyle \frac{m{v}^2}{r}}\Rightarrow v=\sqrt{{\displaystyle \frac{G{M}_T}{r}}}$





Con el radio en unidades del Sistema Internacional, $r=8000\text{ km}=8\cdot {10}^6\text{ m}$:

$v=\sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{5,98}\cdot {10}^{24}}{8\cdot {10}^6}}}=\mathrm{7,06}\cdot {10}^3\text{ m/s}$

El periodo es el tiempo que tarda en recorrer la circunferencia completa:

$T={\displaystyle \frac{2\pi r}{v}}={\displaystyle \frac{2\pi \cdot 8\cdot {10}^6}{\mathrm{7,06}\cdot {10}^3}}=\mathrm{7,12}\cdot {10}^3\text{ s}$

es decir, unas $\mathrm{1,98}$ horas.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{intensidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{campo}}\mathbf{\text{gravitatorio}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{dicha}}\mathbf{\text{altura}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{fuerza}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{ejerce}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{Tierra}}\mathbf{\text{sobre}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sat}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{lite.}}$

$g=G{\displaystyle \frac{M_T}{r^2}}={\displaystyle \frac{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{5,98}\cdot {10}^{24}}{(8\cdot {10}^6{)}^2}}=\mathrm{6,23}\text{ N/kg}$

$F=mg=1000\cdot \mathrm{6,23}=\mathrm{6,23}\cdot {10}^3\text{ N}$

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{energ}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{debe}}\mathbf{\text{lanzar}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sat}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{lite}}\mathbf{\text{desde}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{superficie}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{Tierra}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{situarlo}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{la}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{rbita.}}$

La energía que hay que comunicarle es la diferencia entre su energía mecánica en la órbita y la que tiene en la superficie, donde parte del reposo.

En la órbita, la energía total es la mitad de la potencial:

$E_{\acute{\text{o}}\text{rbita}}=-{\displaystyle \frac{G{M}_{T}m}{2r}}$

En la superficie, con velocidad nula, toda la energía es potencial:

$E_{\text{superficie}}=-{\displaystyle \frac{G{M}_{T}m}{R_T}}$

Por tanto:

$\mathrm{\Delta }E=E_{\acute{\text{o}}\text{rbita}}-E_{\text{superficie}}=G{M}_{T}m({\displaystyle \frac{1}{R_T}}-{\displaystyle \frac{1}{2r}})$

$\mathrm{\Delta }E=\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{5,98}\cdot {10}^{24}\cdot 1000({\displaystyle \frac{1}{\mathrm{6,37}\cdot {10}^6}}-{\displaystyle \frac{1}{\mathrm{1,6}\cdot {10}^7}})$

$\mathrm{\Delta }E=\mathrm{3,77}\cdot {10}^{10}\text{ J}$