Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2021

Un pequeño satélite artificial de $2000\text{ kg}$ de masa describe una órbita circular alrededor de la Tierra cada 90 minutos. Calcule:

a) La altura sobre la superficie de la Tierra a la que se encuentra el satélite.

b) La velocidad y la aceleración del satélite en su órbita.

c) La energía que se necesita suministrar al satélite para posicionarlo en una nueva órbita circular situada a $500\text{ km}$ sobre la superficie de la Tierra.

Datos: $G=\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\text{ N}{\text{m}}^2{\text{kg}}^{-2}$; $R_T=6370\text{ km}$; $M_T=\mathrm{5,98}\cdot {10}^{24}\text{ kg}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{altura}}\mathbf{\text{sobre}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{superficie}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{Tierra}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{encuentra}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sat}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{lite.}}$










En la órbita la fuerza gravitatoria es la centrípeta. Escribiendo la velocidad en función del periodo, $v={\displaystyle \frac{2\pi r}{T}}$, se llega a la tercera ley de Kepler:

$r^3={\displaystyle \frac{G{M}_T{T}^2}{4{\pi }^2}}$





Con el periodo en segundos, $T=90\text{ min}=5400\text{ s}$:

$r=\sqrt[3]{{\displaystyle \frac{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{5,98}\cdot {10}^{24}\cdot {5400}^2}{4{\pi }^2}}}=\mathrm{6,65}\cdot {10}^6\text{ m}$

$h=r-R_T=\mathrm{6,65}\cdot {10}^6-\mathrm{6,37}\cdot {10}^6=\mathrm{2,84}\cdot {10}^5\text{ m}$

El satélite está a unos $284\text{ km}$ de altura, una órbita baja típica.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{aceleraci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{sat}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{lite}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{su}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{rbita.}}$

$v=\sqrt{{\displaystyle \frac{G{M}_T}{r}}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{5,98}\cdot {10}^{24}}{\mathrm{6,65}\cdot {10}^6}}}=\mathrm{7,74}\cdot {10}^3\text{ m/s}$

$a=G{\displaystyle \frac{M_T}{r^2}}={\displaystyle \frac{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{5,98}\cdot {10}^{24}}{(\mathrm{6,65}\cdot {10}^6{)}^2}}=\mathrm{9,01}{\text{m/s}}^2$

La aceleración es prácticamente la gravedad en la superficie, lo que confirma que a esa altura el satélite está lejos de encontrarse fuera del campo gravitatorio: lo que ocurre es que cae permanentemente.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{energ}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{necesita}}\mathbf{\text{suministrar}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{sat}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{lite}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{posicionarlo}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{nueva}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{rbita}}\mathbf{\text{circular}}\mathbf{\text{situada}}\mathbf{\text{a}}\mathrm{<mrow><mn\; mathvariant="bold">500</mn><mtext> km</mtext></mrow>}\mathbf{\text{sobre}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{superficie}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{Tierra.}}$

El radio de la nueva órbita es:

$r^{\mathrm{\prime }}=R_T+h^{\mathrm{\prime }}=\mathrm{6,37}\cdot {10}^6+5\cdot {10}^5=\mathrm{6,87}\cdot {10}^6\text{ m}$

La energía total en una órbita circular es la mitad de la potencial:

$E=-{\displaystyle \frac{G{M}_{T}m}{2r}}=-{\displaystyle \frac{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{5,98}\cdot {10}^{24}\cdot 2000}{2\cdot \mathrm{6,65}\cdot {10}^6}}=-\mathrm{5,99}\cdot {10}^{10}\text{ J}$

$E^{\mathrm{\prime }}=-{\displaystyle \frac{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{5,98}\cdot {10}^{24}\cdot 2000}{2\cdot \mathrm{6,87}\cdot {10}^6}}=-\mathrm{5,81}\cdot {10}^{10}\text{ J}$

$\mathrm{\Delta }E=E^{\mathrm{\prime }}-E=-\mathrm{5,81}\cdot {10}^{10}+\mathrm{5,99}\cdot {10}^{10}=\mathrm{1,88}\cdot {10}^9\text{ J}$

Hay que suministrarle unos $\mathrm{1,88}\cdot {10}^9\text{ J}$.