Ejercicio resuelto de Campo magnético · Física · 2023

Considere una partícula con carga $q$ y masa $m$ que describe un movimiento circular de radio $r$ dentro de un campo magnético $B$, perpendicular al plano de la trayectoria. Deduzca la expresión de la energía cinética en función de $q$, $m$, $r$ y $B$. Calcule la energía cinética para un protón que describe dicho movimiento, si el radio es $75\text{ cm}$ y el campo magnético es $2\text{ G}$.

Datos: $m_p=\mathrm{1,67}\cdot {10}^{-27}\text{ kg}$; $q_p=\mathrm{1,6}\cdot {10}^{-19}\text{ C}$; $1\text{ G}={10}^{-4}\text{ T}$.

La velocidad es perpendicular al campo magnético, de modo que la fuerza de Lorentz es perpendicular a la velocidad en todo instante: no realiza trabajo, no cambia el módulo de la velocidad y hace de fuerza centrípeta.

$\mathrm{\mid }q\mathrm{\mid }vB={\displaystyle \frac{m{v}^2}{r}}$





De esa igualdad se despeja la velocidad:

$v={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }q\mathrm{\mid }Br}{m}}$

Y se sustituye en la expresión de la energía cinética:

$E_c={\displaystyle \frac{1}{2}}m{v}^2={\displaystyle \frac{1}{2}}m{\left({\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }q\mathrm{\mid }Br}{m}}\right)}^2$

$E_c={\displaystyle \frac{q^2{B}^2{r}^2}{2m}}$

Para el protón, con el campo en unidades del Sistema Internacional, $B=2\text{ G}=2\cdot {10}^{-4}\text{ T}$, y $r=75\text{ cm}=\mathrm{0,75}\text{ m}$:

$E_c={\displaystyle \frac{(\mathrm{1,6}\cdot {10}^{-19}{)}^2\cdot (2\cdot {10}^{-4}{)}^2\cdot (\mathrm{0,75}{)}^2}{2\cdot \mathrm{1,67}\cdot {10}^{-27}}}$

$E_c=\mathrm{1,72}\cdot {10}^{-19}\text{ J}$

La energía cinética del protón es de $\mathrm{1,72}\cdot {10}^{-19}\text{ J}$, algo más de un electronvoltio.