Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

Por cierre de campaña, un vivero de frutales necesita vender 350 aguacateros y 400 mangos. Anuncia dos ofertas: la oferta A consiste en un lote con una planta de aguacate y dos de mango por 40 €, la oferta B consiste en un lote con dos plantas de aguacate y una de mango por 45 €. Es necesario vender al menos 80 lotes de la oferta A y al menos 90 de la oferta B.

a) Formular el correspondiente problema de programación lineal.

b) Representar la región factible.

c) Para maximizar la recaudación, ¿cuántos lotes se deben vender de cada tipo?

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Formular}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{correspondiente}}\mathbf{\text{problema}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{programaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{lineal.}}$

Llamamos $x$ al número de lotes de la oferta A e $y$ al número de lotes de la oferta B.

Ordenamos los datos en una tabla.

$$	$\text{Aguacateros}$	$\text{Mangos}$	$\text{Recaudaci}\acute{\text{o}}\text{n (€)}$ $\text{Oferta A }(x)$	$x$	$2x$	$40x$ $\text{Oferta B }(y)$	$2y$	$y$	$45y$ $\text{Totales}$	$x+2y$	$2x+y$	$40x+45y$

La función objetivo, que se quiere maximizar, es la recaudación:

$R(x,y)=40x+45y$

Las restricciones son:

Hay 350 aguacateros $\Rightarrow$ $x+2y\le 350$.

Hay 400 mangos $\Rightarrow$ $2x+y\le 400$.

Hay que vender al menos 80 lotes A y al menos 90 lotes B $\Rightarrow$ $x\ge 80$, $y\ge 90$.

$\text{Maximizar }R(x,y)=40x+45y\text{sujeto a}\{\begin{array}{l}x+2y\le 350\\ 2x+y\le 400\\ x\ge 80;y\ge 90\end{array}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Representar}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{regi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{factible.}}$

Dibujamos las cuatro rectas frontera; para las oblicuas usamos sus tablas de valores.

$x$	$y={\displaystyle \frac{350-x}{2}}$	$y=400-2x$ $80$	$135$	$240$ $150$	$100$	$100$

Los vértices se obtienen cortando las rectas dos a dos.

Vértice $A$: $x=80$ con $y=90$ $\Rightarrow A(80,90)$.

Vértice $B$:

$\{\begin{array}{l}x=80\\ x+2y=350\end{array}\Rightarrow 2y=270\Rightarrow y=135\Rightarrow B(80,135)$

Vértice $C$:

$\{\begin{array}{l}x+2y=350\\ 2x+y=400\end{array}$

Multiplicamos la segunda por $2$ y restamos la primera:

$4x+2y=800\Rightarrow 3x=450\Rightarrow x=150\Rightarrow y=100\Rightarrow C(150,100)$

Vértice $D$:

$\{\begin{array}{l}y=90\\ 2x+y=400\end{array}\Rightarrow 2x=310\Rightarrow x=155\Rightarrow D(155,90)$

La región factible es el cuadrilátero de vértices $A(80,90)$, $B(80,135)$, $C(150,100)$ y $D(155,90)$.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Para}}\mathbf{\text{maximizar}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{recaudaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntos}}\mathbf{\text{lotes}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{deben}}\mathbf{\text{vender}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{tipo?}}$

Por el teorema fundamental de la programación lineal, evaluamos la recaudación en los vértices.

$R(80,90)=40\cdot 80+45\cdot 90=3200+4050=7250\text{ €}$

$R(80,135)=40\cdot 80+45\cdot 135=3200+6075=9275\text{ €}$

$R(150,100)=40\cdot 150+45\cdot 100=6000+4500=10500\text{ €}$

$R(155,90)=40\cdot 155+45\cdot 90=6200+4050=10250\text{ €}$

Se deben vender $150$ lotes de la oferta A y $100$ de la oferta B, con lo que la recaudación máxima es de $10500$ euros.