Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2023

Un fabricante de televisores afirma que la duración media de su producto es de 10 años. Para verificar esto, se selecciona una muestra aleatoria de 50 televisores y se encuentra que la duración media es de 9,5 años, con una desviación típica de 2 años.

a) Calcular el intervalo de confianza del 88 % para la duración media de los televisores del fabricante.

b) ¿Qué tamaño muestral se necesita para estimar la duración media de los televisores con un error menor de 6 meses y con un nivel de confianza del 95 %?

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcular}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{intervalo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{confianza}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{88}}\mathbf{\text{\%}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{duraci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{media}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{televisores}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{fabricante.}}$

La muestra tiene $n=50$ televisores, con $\bar{x}=\mathrm{9,5}$ años y $\sigma =2$ años.

Para una confianza del 88 % es $\alpha =\mathrm{0,12}$, y el valor que deja a su izquierda $\mathrm{0,94}$ en la tabla de la $N(0,1)$ está entre $\mathrm{1,55}$ y $\mathrm{1,56}$; interpolando se toma $z_{\alpha \mathrm{/}2}=\mathrm{1,555}$.

$E=z_{\alpha \mathrm{/}2}{\displaystyle \frac{\sigma }{\sqrt{n}}}=\mathrm{1,555}\cdot {\displaystyle \frac{2}{\sqrt{50}}}=\mathrm{1,555}\cdot \mathrm{0,2828}=\mathrm{0,4398}$

$I{C}_{88\mathrm{\%}}(\mu )=(\mathrm{9,5}-\mathrm{0,4398},\mathrm{9,5}+\mathrm{0,4398})=(\mathrm{9,0602},\mathrm{9,9398})$

Con una confianza del 88 %, la duración media de los televisores está entre $\mathrm{9,0602}$ y $\mathrm{9,9398}$ años. Obsérvese que la duración de 10 años que anuncia el fabricante queda fuera del intervalo.



$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{¿Qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{tama}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{muestral}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{necesita}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{estimar}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{duraci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{media}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{televisores}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{error}}\mathbf{\text{menor}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{6}}\mathbf{\text{meses}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{nivel}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{confianza}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{95}}\mathbf{\text{\%?}}$

Seis meses son $\mathrm{0,5}$ años, que es el error máximo admisible. Para una confianza del 95 % es $z_{\alpha \mathrm{/}2}=\mathrm{1,96}$.

$n={\left({\displaystyle \frac{z_{\alpha \mathrm{/}2}\cdot \sigma }{E}}\right)}^2={\left({\displaystyle \frac{\mathrm{1,96}\cdot 2}{\mathrm{0,5}}}\right)}^2={\left({\displaystyle \frac{\mathrm{3,92}}{\mathrm{0,5}}}\right)}^2={\mathrm{7,84}}^2=\mathrm{61,47}$

Se toma el entero inmediatamente superior: hay que examinar al menos $62$ televisores.