Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2023

La probabilidad de que un ave rapaz, que nace en un zoológico, sobreviva más de 5 años, es del 10 %.

a) Si en un zoo tenemos 10 aves rapaces nacidas este año, hallar la probabilidad de que al menos dos de ellas sigan vivas dentro de 5 años.

b) Si entre todos los zoológicos del país hay 200 aves rapaces nacidas este mismo año, hallar la probabilidad de que, al cabo de 5 años, hayan sobrevivido más de 10 y menos de 15 de ellas.

c) Se ha hecho un seguimiento de 160 aves rapaces que viven en libertad, observándose que solo 12 de ellas han sobrevivido más de 5 años. Calcular un intervalo de confianza al 90 % para la proporción de aves rapaces en libertad que sobreviven más de 5 años.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{zoo}}\mathbf{\text{tenemos}}\mathbf{\text{10}}\mathbf{\text{aves}}\mathbf{\text{rapaces}}\mathbf{\text{nacidas}}\mathbf{\text{este}}\mathbf{\text{a}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{o,}}\mathbf{\text{hallar}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{menos}}\mathbf{\text{dos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{ellas}}\mathbf{\text{sigan}}\mathbf{\text{vivas}}\mathbf{\text{dentro}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{5}}\mathbf{\text{a}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{os.}}$

Sea $X$ el número de aves que sobreviven más de 5 años. Cada ave sobrevive con probabilidad $\mathrm{0,1}$ e independientemente de las demás, de modo que $X\sim B(10;\mathrm{0,1})$.

Se pasa al suceso contrario, que solo tiene dos casos.

$P(X\ge 2)=1-P(X=0)-P(X=1)$

$P(X=0)=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{10}{0}\right){\mathrm{0,1}}^0\cdot {\mathrm{0,9}}^{10}=\mathrm{0,3487}$

$P(X=1)=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{10}{1}\right){\mathrm{0,1}}^1\cdot {\mathrm{0,9}}^9=10\cdot \mathrm{0,1}\cdot \mathrm{0,3874}=\mathrm{0,3874}$

$P(X\ge 2)=1-\mathrm{0,3487}-\mathrm{0,3874}=\mathrm{0,2639}$

La probabilidad de que al menos dos de las diez aves sigan vivas dentro de 5 años es $\mathrm{0,2639}$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{entre}}\mathbf{\text{todos}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{zool}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{gicos}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{pa}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{s}}\mathbf{\text{hay}}\mathbf{\text{200}}\mathbf{\text{aves}}\mathbf{\text{rapaces}}\mathbf{\text{nacidas}}\mathbf{\text{este}}\mathbf{\text{mismo}}\mathbf{\text{a}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{o,}}\mathbf{\text{hallar}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que,}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{cabo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{5}}\mathbf{\text{a}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{os,}}\mathbf{\text{hayan}}\mathbf{\text{sobrevivido}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{s}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{10}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{menos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{15}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{ellas.}}$

Ahora $X\sim B(200;\mathrm{0,1})$.

$\mu =200\cdot \mathrm{0,1}=20\sigma =\sqrt{200\cdot \mathrm{0,1}\cdot \mathrm{0,9}}=\sqrt{18}=\mathrm{4,24}$

Como $np=20>5$ y $nq=180>5$, aproximamos por la normal $X^{\mathrm{\prime }}\sim N(20;\mathrm{4,24})$. Que sobrevivan más de 10 y menos de 15 significa entre 11 y 14, ambos incluidos.

$P(11\le X\le 14)\approx P(\mathrm{10,5}\le X^{\mathrm{\prime }}\le \mathrm{14,5})$

$=P({\displaystyle \frac{\mathrm{10,5}-20}{\mathrm{4,24}}}\le Z\le {\displaystyle \frac{\mathrm{14,5}-20}{\mathrm{4,24}}})=P(-\mathrm{2,24}\le Z\le -\mathrm{1,30})$

Por la simetría de la campana,

$=P(\mathrm{1,30}\le Z\le \mathrm{2,24})=P(Z\le \mathrm{2,24})-P(Z\le \mathrm{1,30})$

$=\mathrm{0,9875}-\mathrm{0,9032}=\mathrm{0,0843}$

La probabilidad de que sobrevivan más de 10 y menos de 15 aves es $\mathrm{0,0843}$.



$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Se}}\mathbf{\text{ha}}\mathbf{\text{hecho}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{seguimiento}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{160}}\mathbf{\text{aves}}\mathbf{\text{rapaces}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{viven}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{libertad,}}\mathbf{\text{observ}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ndose}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{solo}}\mathbf{\text{12}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{ellas}}\mathbf{\text{han}}\mathbf{\text{sobrevivido}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{s}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{5}}\mathbf{\text{a}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{os.}}\mathbf{\text{Calcular}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{intervalo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{confianza}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{90}}\mathbf{\text{\%}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{proporci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{aves}}\mathbf{\text{rapaces}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{libertad}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{sobreviven}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{s}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{5}}\mathbf{\text{a}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{os.}}$

Calculamos la proporción muestral.

$\widehat{p}={\displaystyle \frac{12}{160}}=\mathrm{0,075}\widehat{q}=\mathrm{0,925}$

Para una confianza del 90 % es $\alpha =\mathrm{0,1}$ y $z_{\alpha \mathrm{/}2}=\mathrm{1,645}$.

$E=\mathrm{1,645}\sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{0,075}\cdot \mathrm{0,925}}{160}}}=\mathrm{1,645}\cdot \mathrm{0,0208}=\mathrm{0,0343}$

$I{C}_{90\mathrm{\%}}(p)=(\mathrm{0,075}-\mathrm{0,0343},\mathrm{0,075}+\mathrm{0,0343})=(\mathrm{0,0407},\mathrm{0,1093})$

Con una confianza del 90 %, la proporción de aves rapaces en libertad que sobreviven más de 5 años está entre $\mathrm{0,0407}$ y $\mathrm{0,1093}$.