Ejercicio resuelto de Física cuántica · Física · 2021

Una placa de sodio, una de silicio y una de aluminio se iluminan con luz monocromática de 538 nm.

a) Determine cuáles de las placas emiten electrones por efecto fotoeléctrico. [0,6 puntos]

b) Calcule en cada caso la velocidad máxima de los electrones. [1 punto]

c) Si la intensidad de la luz se duplica, ¿cuál es el cambio de la velocidad máxima de los electrones emitidos? [0,4 puntos]

Datos: $h=\mathrm{6,626}\cdot {10}^{-34}\text{ J s}$; $c=3\cdot {10}^8\text{ m/s}$; masa del electrón, $m_e=\mathrm{9,1}\cdot {10}^{-31}\text{ kg}$; $\mathrm{\mid }e\mathrm{\mid }=\mathrm{1,6}\cdot {10}^{-19}\text{ C}$; trabajos de extracción: sodio 2,28 eV; silicio 3,59 eV; aluminio 4,08 eV.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{les}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{placas}}\mathbf{\text{emiten}}\mathbf{\text{electrones}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{efecto}}\mathbf{\text{fotoel}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{ctrico.}}\mathbf{\text{[0,6}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Solo se emiten electrones si la energía del fotón supera el trabajo de extracción del metal. Se calcula esa energía:

$E=h{\displaystyle \frac{c}{\lambda }}=\mathrm{6,626}\cdot {10}^{-34}\cdot {\displaystyle \frac{3\cdot {10}^8}{538\cdot {10}^{-9}}}=\mathrm{3,69}\cdot {10}^{-19}\text{ J}$

Y se pasa a electronvoltios para compararla con la tabla:

$E={\displaystyle \frac{\mathrm{3,69}\cdot {10}^{-19}}{\mathrm{1,6}\cdot {10}^{-19}}}=\mathrm{2,31}\text{ eV}$

Se compara con cada trabajo de extracción:

- Sodio: $\mathrm{2,28}\text{ eV}<\mathrm{2,31}\text{ eV}$, sí hay emisión.

- Silicio: $\mathrm{3,59}\text{ eV}>\mathrm{2,31}\text{ eV}$, no hay emisión.

- Aluminio: $\mathrm{4,08}\text{ eV}>\mathrm{2,31}\text{ eV}$, no hay emisión.

Solo la placa de sodio emite electrones, y por muy poco margen.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{caso}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{xima}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{electrones.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

En el silicio y en el aluminio no se emite ningún electrón, así que no cabe hablar de velocidad máxima: por intensa que sea la luz, ningún fotón tiene energía suficiente para arrancar uno.

Para el sodio, la energía cinética máxima es lo que sobra tras pagar el trabajo de extracción:

$E_{c,\text{m}\acute{\text{a}}\text{x}}=E-W_{\text{ext}}=\mathrm{2,31}-\mathrm{2,28}=\mathrm{0,029}\text{ eV}$

Se pasa a julios:

$E_{c,\text{m}\acute{\text{a}}\text{x}}=\mathrm{0,029}\cdot \mathrm{1,6}\cdot {10}^{-19}=\mathrm{4,68}\cdot {10}^{-21}\text{ J}$

Y se despeja la velocidad:

$v_{\text{m}\acute{\text{a}}\text{x}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{2E_{c,\text{m}\acute{\text{a}}\text{x}}}{m_e}}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{2\cdot \mathrm{4,68}\cdot {10}^{-21}}{\mathrm{9,1}\cdot {10}^{-31}}}}$

$v_{\text{m}\acute{\text{a}}\text{x}}=\mathrm{1,01}\cdot {10}^5\text{ m/s}=101\text{ km/s}$

Es una velocidad pequeña para un fotoelectrón, precisamente porque la energía del fotón apenas supera el trabajo de extracción del sodio.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{intensidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{luz}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{duplica,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{cambio}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{xima}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{electrones}}\mathbf{\text{emitidos?}}\mathbf{\text{[0,4}}\mathbf{\text{puntos]}}$

No hay ningún cambio: la velocidad máxima sigue siendo $101\text{ km/s}$ en el sodio, y en el silicio y el aluminio se sigue sin emitir nada.

Duplicar la intensidad de una luz monocromática significa duplicar el número de fotones que llegan por segundo, pero no la energía de cada uno, que solo depende de la frecuencia. Como en el efecto fotoeléctrico cada electrón absorbe un único fotón, el balance

$hf=W_{\text{ext}}+E_{c,\text{m}\acute{\text{a}}\text{x}}$

no se altera. Lo que sí se duplica es el número de electrones emitidos, es decir, la intensidad de la corriente fotoeléctrica.