Ejercicio resuelto de Física cuántica · Física · 2020

Se ilumina una placa de sodio con luz monocromática de 470 nm. Calcule la velocidad máxima de los electrones emitidos por efecto fotoeléctrico. [2 puntos]

Datos: $h=\mathrm{6,626}\cdot {10}^{-34}\text{ J s}$; $c=3\cdot {10}^8\text{ m/s}$; masa del electrón, $m_e=\mathrm{9,1}\cdot {10}^{-31}\text{ kg}$; $\mathrm{\mid }e\mathrm{\mid }=\mathrm{1,6}\cdot {10}^{-19}\text{ C}$; trabajo de extracción del sodio, 2,28 eV.

$\mathbf{\text{Se}}\mathbf{\text{ilumina}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{placa}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{sodio}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{luz}}\mathbf{\text{monocrom}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{tica}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{470}}\mathbf{\text{nm.}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{xima}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{electrones}}\mathbf{\text{emitidos}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{efecto}}\mathbf{\text{fotoel}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{ctrico.}}\mathbf{\text{[2}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Por la ecuación de Einstein del efecto fotoeléctrico, la energía del fotón incidente se reparte entre el trabajo de extracción del metal y la energía cinética máxima del electrón arrancado:

$E_{\text{fot}\acute{\text{o}}\text{n}}=W_{\text{ext}}+E_{c,\text{m}\acute{\text{a}}\text{x}}$

Se calcula primero la energía del fotón, que solo depende de la longitud de onda:

$E_{\text{fot}\acute{\text{o}}\text{n}}=h{\displaystyle \frac{c}{\lambda }}=\mathrm{6,626}\cdot {10}^{-34}\cdot {\displaystyle \frac{3\cdot {10}^8}{470\cdot {10}^{-9}}}$

$E_{\text{fot}\acute{\text{o}}\text{n}}=\mathrm{4,229}\cdot {10}^{-19}\text{ J}$

Conviene expresarla en electronvoltios para compararla con el trabajo de extracción:

$E_{\text{fot}\acute{\text{o}}\text{n}}={\displaystyle \frac{\mathrm{4,229}\cdot {10}^{-19}}{\mathrm{1,6}\cdot {10}^{-19}}}=\mathrm{2,643}\text{ eV}$

Como $\mathrm{2,643}\text{ eV}>\mathrm{2,28}\text{ eV}$, la luz sí arranca electrones. La energía cinética máxima es lo que sobra:

$E_{c,\text{m}\acute{\text{a}}\text{x}}=\mathrm{2,643}-\mathrm{2,28}=\mathrm{0,363}\text{ eV}$

Se pasa a julios para poder despejar la velocidad:

$E_{c,\text{m}\acute{\text{a}}\text{x}}=\mathrm{0,363}\cdot \mathrm{1,6}\cdot {10}^{-19}=\mathrm{5,81}\cdot {10}^{-20}\text{ J}$

Y de la expresión de la energía cinética:

$E_{c,\text{m}\acute{\text{a}}\text{x}}={\displaystyle \frac{1}{2}}{m}_e{v}_{\text{m}\acute{\text{a}}\text{x}}^2\Rightarrow v_{\text{m}\acute{\text{a}}\text{x}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{2E_{c,\text{m}\acute{\text{a}}\text{x}}}{m_e}}}$

$v_{\text{m}\acute{\text{a}}\text{x}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{2\cdot \mathrm{5,81}\cdot {10}^{-20}}{\mathrm{9,1}\cdot {10}^{-31}}}}=\sqrt{\mathrm{1,278}\cdot {10}^{11}}$

$v_{\text{m}\acute{\text{a}}\text{x}}=\mathrm{3,57}\cdot {10}^5\text{ m/s}=357\text{ km/s}$

La velocidad máxima de los electrones emitidos es de $357\text{ km/s}$, poco más de la milésima parte de la velocidad de la luz, de modo que el tratamiento no relativista está justificado.