Ejercicio resuelto de Física nuclear · Física · 2025

a) Se descubrió un manuscrito con símbolos extraños que nadie podía entender. Algunos estudiosos consideraron que el autor podría ser el filósofo y científico Roger Bacon, porque había hecho estudios sobre la alquimia, la astrología y diversas lenguas. Bacon murió alrededor del año 1292.

En el año 2009 se dataron por radiocarbono unas muestras del pergamino del manuscrito. Las medidas dieron entre 8275 y 8310 desintegraciones por día, y una muestra de la misma masa de pergamino actual dio 371 desintegraciones por hora.

Determine el intervalo de años que proporcionó el método del carbono-14 para la antigüedad del pergamino. ¿Puede ser Roger Bacon el autor del manuscrito? [1 punto]

Dato: $T_{1\mathrm{/}2}{(}^{14}\text{C})=5730\text{ a}$.

Responda b1 o b2.

b1) Copie el plano $N$-$Z$ de la figura en la hoja de respuesta con el punto central que representa un elemento radiactivo. Dibuje las flechas que representan una desintegración ${\beta }^{-}$ seguida de una desintegración $\alpha$. [0,5 puntos]



b2) La velocidad máxima de los electrones emitidos por una placa de un material puro es de 505 km/s cuando se ilumina con luz monocromática de 229 nm. Calcule el trabajo de extracción en eV del material de la placa. ¿De qué material es la placa? [0,5 puntos]

Datos: $h=\mathrm{6,626}\cdot {10}^{-34}\text{ J s}$; $c=3\cdot {10}^8\text{ m/s}$; masa del electrón, $m_e=\mathrm{9,1}\cdot {10}^{-31}\text{ kg}$; $\mathrm{\mid }e\mathrm{\mid }=\mathrm{1,6}\cdot {10}^{-19}\text{ C}$; trabajos de extracción: cesio 1,94 eV; rubidio 2,13 eV; sodio 2,28 eV; silicio 3,59 eV; aluminio 4,08 eV; cobre 4,70 eV; plata 4,73 eV; oro 5,10 eV.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{intervalo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{a}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{os}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{proporcion}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{todo}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{carbono-14}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{antig}}\ddot{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{edad}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{pergamino.}}\mathbf{\text{¿Puede}}\mathbf{\text{ser}}\mathbf{\text{Roger}}\mathbf{\text{Bacon}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{autor}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{manuscrito?}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

El carbono-14 de un ser vivo se mantiene en equilibrio con el de la atmósfera; cuando el organismo muere deja de reponerse y su actividad decae según la ley de desintegración radiactiva:

$A=A_0{e}^{-\lambda t}$

donde $A_0$ es la actividad de una muestra actual de la misma masa y $\lambda$ la constante de desintegración:

$\lambda ={\displaystyle \frac{\ln 2}{T_{1\mathrm{/}2}}}={\displaystyle \frac{\ln 2}{5730}}=\mathrm{1,2097}\cdot {10}^{-4}{\text{a}}^{-1}$

Las dos actividades han de expresarse en las mismas unidades. Se pasan las del pergamino antiguo a desintegraciones por hora:

$A_{\min }={\displaystyle \frac{8275}{24}}=\mathrm{344,8}{\text{h}}^{-1},A_{\max }={\displaystyle \frac{8310}{24}}=\mathrm{346,3}{\text{h}}^{-1}$

$A_0=371{\text{h}}^{-1}$

Se despeja el tiempo de la ley de desintegración:

$t={\displaystyle \frac{1}{\lambda }}\ln {\displaystyle \frac{A_0}{A}}$

Cuanto menor es la actividad medida, mayor es la antigüedad. Para el extremo de menor actividad:

$t_{\max }={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{1,2097}\cdot {10}^{-4}}}\ln {\displaystyle \frac{371}{\mathrm{344,8}}}=606\text{ a}$

Y para el de mayor actividad:

$t_{\min }={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{1,2097}\cdot {10}^{-4}}}\ln {\displaystyle \frac{371}{\mathrm{346,3}}}=571\text{ a}$

El método del carbono-14 da una antigüedad de entre 571 y 606 años. Como las medidas se hicieron en 2009, el pergamino se fabricó entre los años 1403 y 1438.

Roger Bacon murió alrededor del año 1292, más de un siglo antes de que existiera ese pergamino, así que no puede ser el autor del manuscrito.



En una desintegración ${\beta }^{-}$ un neutrón del núcleo se convierte en un protón, y se emiten un electrón y un antineutrino:

${}_Z^A\text{X}\to {}_{Z+1}^A\text{Y}+{}_{-1}^{0}e+{\bar{\nu }}_e$

El número másico no cambia, el número atómico aumenta en una unidad y el número de neutrones disminuye en una unidad. En el plano $N$-$Z$, la flecha va una casilla a la derecha y una hacia abajo:

$(Z,N)=(91,143)\to (92,142)$

En una desintegración $\alpha$ se emite un núcleo de helio-4, que se lleva dos protones y dos neutrones:

${}_Z^A\text{X}\to {}_{Z-2}^{A-4}\text{Y}+{}_2^4\text{He}$

La flecha va dos casillas a la izquierda y dos hacia abajo:

$(Z,N)=(92,142)\to (90,140)$



$\mathbf{\text{b2)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{xima}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{electrones}}\mathbf{\text{emitidos}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{placa}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{material}}\mathbf{\text{puro}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{505}}\mathbf{\text{km/s}}\mathbf{\text{cuando}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{ilumina}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{luz}}\mathbf{\text{monocrom}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{tica}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{229}}\mathbf{\text{nm.}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{trabajo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{extracci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{eV}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{material}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{placa.}}\mathbf{\text{¿De}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{material}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{placa?}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Por la ecuación de Einstein del efecto fotoeléctrico, la energía del fotón incidente se reparte entre el trabajo de extracción y la energía cinética máxima del electrón arrancado:

$E_{\text{fot}\acute{\text{o}}\text{n}}=W_{\text{ext}}+E_{c,\text{m}\acute{\text{a}}\text{x}}$

La energía del fotón incidente es:

$E_{\text{fot}\acute{\text{o}}\text{n}}=h{\displaystyle \frac{c}{\lambda }}=\mathrm{6,626}\cdot {10}^{-34}\cdot {\displaystyle \frac{3\cdot {10}^8}{229\cdot {10}^{-9}}}=\mathrm{8,680}\cdot {10}^{-19}\text{ J}$

Y la energía cinética máxima, a partir de la velocidad máxima medida:

$E_{c,\text{m}\acute{\text{a}}\text{x}}={\displaystyle \frac{1}{2}}{m}_e{v}_{\text{m}\acute{\text{a}}\text{x}}^2={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot \mathrm{9,1}\cdot {10}^{-31}\cdot (\mathrm{5,05}\cdot {10}^5{)}^2=\mathrm{1,160}\cdot {10}^{-19}\text{ J}$

Por tanto:

$W_{\text{ext}}=\mathrm{8,680}\cdot {10}^{-19}-\mathrm{1,160}\cdot {10}^{-19}=\mathrm{7,520}\cdot {10}^{-19}\text{ J}$

Se expresa en electronvoltios:

$W_{\text{ext}}=\mathrm{7,520}\cdot {10}^{-19}\text{ J}\cdot {\displaystyle \frac{1\text{ eV}}{\mathrm{1,6}\cdot {10}^{-19}\text{ J}}}=\mathrm{4,70}\text{ eV}$

El trabajo de extracción vale $\mathrm{4,70}\text{ eV}$, que en la tabla del enunciado corresponde al cobre. La placa es de cobre.