Ejercicio resuelto de Diagramas de Venn · Matemáticas CCSS · 2026

PROBLEMA 2. (3 puntos)
El 70 % de los jóvenes de un país lee novelas, el 40 % lee cómics y el 20 % no lee ni novelas ni cómics. Se elige al azar a una persona joven de este país.

(a) (0,75 puntos) Calcula la probabilidad de que lea novelas o cómics.
(b) (0,75 puntos) Sabiendo que lee novelas, calcula la probabilidad de que lea cómics.
(c) (0,5 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que lea novelas y no cómics?
(d) (1 punto) Se eligen ahora a 600 jóvenes de este país. ¿Cuál es la probabilidad de que más de 228 y menos de 270 lean cómics?

Se llama $N$ al suceso «la persona joven elegida lee novelas» y $C$ al suceso «la persona joven elegida lee cómics». Los tres porcentajes del enunciado se traducen así:

$P(N)=\mathrm{0,70},P(C)=\mathrm{0,40},P(\bar{N}\cap \bar{C})=\mathrm{0,20}$

$\mathbf{\text{(a)}}\mathbf{\text{(0,75}}\mathbf{\text{puntos)}}\mathbf{\text{Calcula}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{lea}}\mathbf{\text{novelas}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{c}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{mics.}}$

Que no lea novelas y tampoco cómics es, por las leyes de De Morgan, el suceso contrario de que lea alguna de las dos cosas. Se pasa entonces al complementario del dato que da el enunciado.

$\bar{N}\cap \bar{C}=\overline{N\cup C}$

$P(N\cup C)=1-P(\overline{N\cup C})=1-\mathrm{0,20}=\mathrm{0,80}$

La probabilidad de que la persona elegida lea novelas o cómics es $\mathrm{0,80}$, es decir, un $80\mathrm{\%}$.

$\mathbf{\text{(b)}}\mathbf{\text{(0,75}}\mathbf{\text{puntos)}}\mathbf{\text{Sabiendo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{lee}}\mathbf{\text{novelas,}}\mathbf{\text{calcula}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{lea}}\mathbf{\text{c}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{mics.}}$

Lo que se pide es una probabilidad condicionada, y para calcularla hace falta la probabilidad de la intersección, que se despeja de la fórmula de la probabilidad de la unión.

$P(N\cup C)=P(N)+P(C)-P(N\cap C)$

$P(N\cap C)=P(N)+P(C)-P(N\cup C)=\mathrm{0,70}+\mathrm{0,40}-\mathrm{0,80}=\mathrm{0,30}$

$P(C\mid N)={\displaystyle \frac{P(C\cap N)}{P(N)}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,30}}{\mathrm{0,70}}}={\displaystyle \frac{3}{7}}\approx \mathrm{0,4286}$

Entre las personas jóvenes que leen novelas, la probabilidad de que además lean cómics es $\frac{3}{7}\approx \mathrm{0,4286}$, es decir, un $\mathrm{42,86}\mathrm{\%}$.

$\mathbf{\text{(c)}}\mathbf{\text{(0,5}}\mathbf{\text{puntos)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{lea}}\mathbf{\text{novelas}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{c}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{mics?}}$

El suceso $N$ se descompone en dos partes disjuntas: leer novelas y también cómics, o leer novelas pero no cómics. Basta restar de $P(N)$ la parte común, ya calculada en el apartado anterior.

$P(N)=P(N\cap C)+P(N\cap \bar{C})$

$P(N\cap \bar{C})=P(N)-P(N\cap C)=\mathrm{0,70}-\mathrm{0,30}=\mathrm{0,40}$

La probabilidad de que la persona elegida lea novelas y no lea cómics es $\mathrm{0,40}$, es decir, un $40\mathrm{\%}$. Con esto quedan determinadas las cuatro zonas del diagrama de Venn, cuyas probabilidades suman la unidad.



$\mathbf{\text{(d)}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}\mathbf{\text{Se}}\mathbf{\text{eligen}}\mathbf{\text{ahora}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{600}}\mathbf{\text{j}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{venes}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{este}}\mathbf{\text{pa}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{s.}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{s}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{228}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{menos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{270}}\mathbf{\text{lean}}\mathbf{\text{c}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{mics?}}$

Se llama $X$ al número de personas, de entre las $600$ elegidas, que leen cómics. Cada una de ellas lee cómics con probabilidad $\mathrm{0,40}$ e independientemente de las demás, de modo que se trata de una binomial.

$X\sim B(n,p)=B(600;\mathrm{0,40})$

Como $np=240>5$ y $n(1-p)=360>5$, la binomial se puede aproximar por una normal con su misma media y su misma desviación típica.

$\mu =np=600\cdot \mathrm{0,40}=240$

$\sigma =\sqrt{np(1-p)}=\sqrt{600\cdot \mathrm{0,40}\cdot \mathrm{0,60}}=\sqrt{144}=12$

$X\sim B(600;\mathrm{0,40})\approx X^{\mathrm{\prime }}\sim N(240,12)$

Al sustituir una variable discreta por una continua hay que aplicar la corrección de continuidad de Yates. Los valores enteros estrictamente comprendidos entre $228$ y $270$ son los que van de $229$ a $269$, y el intervalo continuo que les corresponde es el que va de $\mathrm{228,5}$ a $\mathrm{269,5}$.

$P(228<X<270)=P(229\le X\le 269)\approx P(\mathrm{228,5}<X^{\mathrm{\prime }}<\mathrm{269,5})$

Se tipifica para poder usar la tabla de la normal estándar.

$Z={\displaystyle \frac{X^{\mathrm{\prime }}-\mu }{\sigma }}={\displaystyle \frac{X^{\mathrm{\prime }}-240}{12}}\sim N(0,1)$

$P(\mathrm{228,5}<X^{\mathrm{\prime }}<\mathrm{269,5})=P({\displaystyle \frac{\mathrm{228,5}-240}{12}}<Z<{\displaystyle \frac{\mathrm{269,5}-240}{12}})=P(-\mathrm{0,96}<Z<\mathrm{2,46})$

Las tablas solo recogen valores positivos de $z$, de manera que el extremo negativo se lleva al semieje positivo usando la simetría de la campana.

$P(-\mathrm{0,96}<Z<\mathrm{2,46})=\mathrm{\Phi }(\mathrm{2,46})-\mathrm{\Phi }(-\mathrm{0,96})=\mathrm{\Phi }(\mathrm{2,46})-(1-\mathrm{\Phi }(\mathrm{0,96}))$

$=\mathrm{0,9931}-(1-\mathrm{0,8315})=\mathrm{0,9931}-\mathrm{0,1685}=\mathrm{0,8246}$

La probabilidad de que, entre las $600$ personas jóvenes elegidas, más de $228$ y menos de $270$ lean cómics es $\mathrm{0,8246}$, es decir, un $\mathrm{82,46}\mathrm{\%}$.