Ejercicio resuelto de Energía potencial · Física y Química I

Se lanza un cuerpo de masa 1 kg por un plano horizontal con rozamiento con una velocidad de 10 m/s. Después de recorrer una distancia de 5 m comienza a ascender por un plano inclinado 30°. Calcula la altura que alcanza y la energía potencial del cuerpo en el punto más alto, si el coeficiente de rozamiento en todo el trayecto es ${\mu }_c=\mathrm{0,3}$.

Llamamos A al punto de lanzamiento, B al pie de la rampa y C al punto más alto, donde se para. La energía potencial gravitatoria depende de la altura, y la altura se mide desde un nivel de referencia que hay que elegir: en él $E_P=0$. Tomamos el cero en el plano horizontal ($E_P=0$ en A y en B) y $g=\mathrm{9,8}{\text{m/s}}^2$. Como hay rozamiento, la energía mecánica NO se conserva: la fuerza de rozamiento va siempre en contra del movimiento y hace un trabajo negativo, y la energía mecánica final es la inicial más ese trabajo. Aquí lo hay en los dos tramos, así que el balance se hace dos veces. En la rampa la normal ya no es el peso entero, sino su componente perpendicular al plano, $N=mg\cos \alpha$.
$\boxed{{\displaystyle E_C={\displaystyle \frac{1}{2}}m{v}^2}}$
$\boxed{{\displaystyle E_P=mgh}}$
$\boxed{{\displaystyle F_{\text{roz}}=\mu N}}$
$\boxed{{\displaystyle W=Fd\cos \alpha }}$
$\boxed{{\displaystyle E_{M_{\text{final}}}-E_{M_{\text{inicial}}}=W_{\text{roz}}}}$





$\mathbf{\text{Tramo}}\mathbf{\text{horizontal,}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{A}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{B}}$
Energía mecánica en A, toda cinética:
$E_{M_A}={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 1\cdot {10}^2=50\text{ J}$
En horizontal la normal es el peso, y el rozamiento:
$F_{\text{roz}}=\mu mg=\mathrm{0,3}\cdot 1\cdot \mathrm{9,8}=\mathrm{2,94}\text{ N}$
$W_{\text{roz}}=F_{\text{roz}}d\cos {180}^{\circ }=\mathrm{2,94}\cdot 5\cdot (-1)=-\mathrm{14,7}\text{ J}$
La energía mecánica en B (toda cinética, porque sigue a la altura cero):
$E_{M_B}-E_{M_A}=W_{\text{roz}}\Rightarrow E_{M_B}=50-\mathrm{14,7}=\mathrm{35,3}\text{ J}$


$\mathbf{\text{Tramo}}\mathbf{\text{inclinado,}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{B}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{C}}$
En la rampa la normal es la componente del peso perpendicular al plano:
$N=mg\cos {30}^{\circ }=1\cdot \mathrm{9,8}\cdot \cos {30}^{\circ }=\mathrm{8,4870}\text{ N}$
$F_{\text{roz}}=\mu N=\mathrm{0,3}\cdot \mathrm{8,4870}=\mathrm{2,5461}\text{ N}$
La distancia recorrida sobre la rampa hasta pararse, $d^{\mathrm{\prime }}$, y la altura que sube, $h_C$, están ligadas por el ángulo:
$\mathrm{sen}{30}^{\circ }={\displaystyle \frac{h_C}{d^{\mathrm{\prime }}}}\Rightarrow d^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{h_C}{\mathrm{sen}{30}^{\circ }}}=2h_C$
Así que el trabajo del rozamiento en la rampa, en función de la altura, es:
$W_{\text{roz}}^{\mathrm{\prime }}=F_{\text{roz}}{d}^{\mathrm{\prime }}\cos {180}^{\circ }=-\mathrm{2,5461}\cdot 2h_C=-\mathrm{5,0922}{h}_C$
En C el cuerpo está parado: su energía mecánica es solo potencial, $E_{M_C}=mg{h}_C=\mathrm{9,8}{h}_C$. El balance de B a C:
$E_{M_C}-E_{M_B}=W_{\text{roz}}^{\mathrm{\prime }}\Rightarrow \mathrm{9,8}{h}_C-\mathrm{35,3}=-\mathrm{5,0922}{h}_C$
$\mathrm{9,8}{h}_C+\mathrm{5,0922}{h}_C=\mathrm{35,3}\Rightarrow h_C={\displaystyle \frac{\mathrm{35,3}}{\mathrm{14,8922}}}=\mathrm{2,3704}\text{ m}$
$\boxed{{\displaystyle h_C=\mathrm{2,37}\text{ m}}}$


$\mathbf{\text{Energ}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{potencial}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{punto}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{s}}\mathbf{\text{alto}}$
$E_{P_C}=mg{h}_C=1\cdot \mathrm{9,8}\cdot \mathrm{2,3704}=\mathrm{23,23}\text{ J}$
$\boxed{{\displaystyle E_{P_C}=\mathrm{23,23}\text{ J}}}$
De los 50 J iniciales solo quedan $\mathrm{23,23}\text{ J}$: el resto se lo ha llevado el rozamiento en los dos tramos, $\mathrm{14,7}\text{ J}$ en el horizontal y $\mathrm{12,07}\text{ J}$ en la rampa.