Ejercicio resuelto de Energía potencial · Física y Química I

Se lanza un cuerpo de 500 g con una velocidad inicial de 10 m/s por un plano horizontal rugoso (${\mu }_c=\mathrm{0,4}$). Después de recorrer una distancia de 2 m comienza a ascender por un plano inclinado, sin rozamiento, hasta detenerse.

a) ¿Cuánto vale la energía potencial del cuerpo en el instante en el que se detiene?

b) Calcula la altura que alcanza.

Dato: $g=\mathrm{9,8}{\text{m/s}}^2$.

Llamamos A al punto de lanzamiento, B al pie de la rampa y C al punto donde se detiene. La energía potencial gravitatoria depende de la altura, y la altura se mide desde un nivel de referencia que hay que elegir: en él $E_P=0$. Tomamos el cero en el plano horizontal, así que en A y en B $E_P=0$. El recorrido tiene dos tramos distintos. De A a B la energía mecánica NO se conserva: la fuerza de rozamiento va siempre en contra del movimiento y hace un trabajo negativo, y la energía mecánica final es la inicial más ese trabajo. De B a C no hay rozamiento: La energía mecánica es la suma de la cinética y la potencial. Cuando la única fuerza que hace trabajo es el peso (la normal o la tensión de una cuerda no trabajan: son perpendiculares al movimiento), la energía mecánica se conserva: vale lo mismo en el estado inicial y en el final.
$\boxed{{\displaystyle E_C={\displaystyle \frac{1}{2}}m{v}^2}}$
$\boxed{{\displaystyle E_P=mgh}}$
$\boxed{{\displaystyle F_{\text{roz}}=\mu N}}$
$\boxed{{\displaystyle W=Fd\cos \alpha }}$
$\boxed{{\displaystyle E_{M_{\text{final}}}-E_{M_{\text{inicial}}}=W_{\text{roz}}}}$
$\boxed{{\displaystyle E_{M_{\text{inicial}}}=E_{M_{\text{final}}}}}$





$\mathbf{\text{a)}}$ La masa va en kilogramos: $m=500\text{ g}=\mathrm{0,5}\text{ kg}$.
Energía mecánica en A (toda cinética):
$E_{M_A}={\displaystyle \frac{1}{2}}m{v}_0^2+0={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot \mathrm{0,5}\cdot {10}^2=25\text{ J}$
Tramo A-B, con rozamiento. En un plano horizontal la normal es igual al peso, así que la fuerza de rozamiento vale:
$F_{\text{roz}}=\mu N=\mu mg=\mathrm{0,4}\cdot \mathrm{0,5}\cdot \mathrm{9,8}=\mathrm{1,96}\text{ N}$
y su trabajo a lo largo de los 2 m, en contra del movimiento:
$W_{\text{roz}}=F_{\text{roz}}d\cos {180}^{\circ }=\mathrm{1,96}\cdot 2\cdot (-1)=-\mathrm{3,92}\text{ J}$
La energía mecánica en B es la de A más ese trabajo (negativo):
$E_{M_B}-E_{M_A}=W_{\text{roz}}\Rightarrow E_{M_B}=25-\mathrm{3,92}=\mathrm{21,08}\text{ J}$
Tramo B-C, sin rozamiento: la energía mecánica se conserva. En C el cuerpo está parado ($E_C=0$), así que toda la energía es potencial:
$E_{M_C}=E_{M_B}\Rightarrow 0+E_{P_C}=\mathrm{21,08}$
$\boxed{{\displaystyle E_{P_C}=\mathrm{21,08}\text{ J}}}$


$\mathbf{\text{b)}}$ De la definición de energía potencial, con el cero en el plano horizontal:
$E_{P_C}=mg{h}_C\Rightarrow h_C={\displaystyle \frac{E_{P_C}}{mg}}={\displaystyle \frac{\mathrm{21,08}}{\mathrm{0,5}\cdot \mathrm{9,8}}}=\mathrm{4,3020}\text{ m}$
$\boxed{{\displaystyle h_C=\mathrm{4,30}\text{ m}}}$
La inclinación de la rampa no hace falta: sin rozamiento, la altura solo depende de la energía con la que llega a B.