Ejercicio resuelto de Racionales · Matemáticas I

Calcular las siguientes integrales racionales:

a) ${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{2x^3-5x^2+4x-2}{x^2-3x+2}}dx}$
b) ${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{2x^2+3}{x^3+x^2-2}}dx}$
c) ${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{x^2-2x+10}{x^3-3x+2}}dx}$
d) ${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{7x^2+3x+5}{x^3+x}}dx}$
e) ${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{9x+23}{x^2+6x+9}}dx}$

Una integral racional se resuelve siempre igual:
1) si el grado del numerador no es menor que el del denominador, se hace la división;
2) se factoriza el denominador;
3) se descompone la fracción en fracciones simples, y
4) se integra cada una, que ya es inmediata:
$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \int {\displaystyle \frac{A}{x-a}}dx=A\ln \mid x-a\mid +C{\displaystyle \int {\displaystyle \frac{A}{{(x-a)}^n}}dx={\displaystyle \frac{A{(x-a)}^{1-n}}{1-n}}+C}}}}$
Si el denominador tiene un factor de segundo grado sin raíces reales, ese trozo da un logaritmo más un arco tangente.

$\mathbf{\text{a)}}$ El grado del numerador no es menor que el del denominador, así que lo primero es hacer la división:
${\displaystyle \frac{2x^3-5x^2+4x-2}{x^2-3x+2}}=2x+1+{\displaystyle \frac{3x-4}{x^2-3x+2}}$
Factorizamos el denominador:
$x^2-3x+2=(x-2)(x-1)$
Y descomponemos en fracciones simples:
${\displaystyle \frac{2x^3-5x^2+4x-2}{x^2-3x+2}}=2x+1+{\displaystyle \frac{1}{x-1}}+{\displaystyle \frac{2}{x-2}}$
Cada sumando ya se integra directamente:
${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{2x^3-5x^2+4x-2}{x^2-3x+2}}dx=x^2+x+2\ln (x-2)+\ln (x-1)+C}$


$\mathbf{\text{b)}}$ Factorizamos el denominador:
$x^3+x^2-2=(x-1)(x^2+2x+2)$
Y descomponemos en fracciones simples:
${\displaystyle \frac{2x^2+3}{x^3+x^2-2}}={\displaystyle \frac{x-1}{x^2+2x+2}}+{\displaystyle \frac{1}{x-1}}$
Cada sumando ya se integra directamente:
${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{2x^2+3}{x^3+x^2-2}}dx=\ln (x-1)+{\displaystyle \frac{\ln (x^2+2x+2)}{2}}-2\mathrm{arctg}(x+1)+C}$
Aquí el denominador tiene una raíz real y un factor de segundo grado sin raíces reales, y por eso aparece el arco tangente.


$\mathbf{\text{c)}}$ Factorizamos el denominador:
$x^3-3x+2={(x-1)}^2(x+2)$
Y descomponemos en fracciones simples:
${\displaystyle \frac{x^2-2x+10}{x^3-3x+2}}={\displaystyle \frac{2}{x+2}}-{\displaystyle \frac{1}{x-1}}+{\displaystyle \frac{3}{{(x-1)}^2}}$
Cada sumando ya se integra directamente:
${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{x^2-2x+10}{x^3-3x+2}}dx=-\ln (x-1)+2\ln (x+2)-{\displaystyle \frac{3}{x-1}}+C}$


$\mathbf{\text{d)}}$ Factorizamos el denominador:
$x^3+x=x(x^2+1)$
Y descomponemos en fracciones simples:
${\displaystyle \frac{7x^2+3x+5}{x^3+x}}={\displaystyle \frac{2x+3}{x^2+1}}+{\displaystyle \frac{5}{x}}$
Cada sumando ya se integra directamente:
${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{7x^2+3x+5}{x^3+x}}dx=5\ln x+\ln (x^2+1)+3\mathrm{arctg}x+C}$
El factor $x^2+1$ no tiene raíces reales: ese trozo da logaritmo y arco tangente.


$\mathbf{\text{e)}}$ Factorizamos el denominador:
$x^2+6x+9={(x+3)}^2$
Y descomponemos en fracciones simples:
${\displaystyle \frac{9x+23}{x^2+6x+9}}={\displaystyle \frac{9}{x+3}}-{\displaystyle \frac{4}{{(x+3)}^2}}$
Cada sumando ya se integra directamente:
${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{9x+23}{x^2+6x+9}}dx=9\ln (x+3)+{\displaystyle \frac{4}{x+3}}+C}$
El denominador tiene una raíz DOBLE, y por eso una de las fracciones simples lleva el denominador al cuadrado y se integra como una potencia, no como un logaritmo.