Ejercicio resuelto de Racionales · Matemáticas I

Calcular las siguientes integrales racionales:

a) ${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{x+2}{x^2-x-6}}dx}$
b) ${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{x^4-3x^3+2x^2+3}{x^3-3x^2+4}}dx}$
c) ${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{1}{e^x+1}}dx}$
d) ${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{e^x}{e^{2x}-5e^x+6}}dx}$

Una integral racional se resuelve siempre igual:
1) si el grado del numerador no es menor que el del denominador, se hace la división;
2) se factoriza el denominador;
3) se descompone la fracción en fracciones simples, y
4) se integra cada una, que ya es inmediata:
$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \int {\displaystyle \frac{A}{x-a}}dx=A\ln \mid x-a\mid +C{\displaystyle \int {\displaystyle \frac{A}{{(x-a)}^n}}dx={\displaystyle \frac{A{(x-a)}^{1-n}}{1-n}}+C}}}}$
Si el denominador tiene un factor de segundo grado sin raíces reales, ese trozo da un logaritmo más un arco tangente.

$\mathbf{\text{a)}}$ Factorizamos el denominador:
$x^2-x-6=(x-3)(x+2)$
Y descomponemos en fracciones simples:
${\displaystyle \frac{x+2}{x^2-x-6}}={\displaystyle \frac{1}{x-3}}$
Cada sumando ya se integra directamente:
${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{x+2}{x^2-x-6}}dx=\ln (x-3)+C}$


$\mathbf{\text{b)}}$ El grado del numerador no es menor que el del denominador, así que lo primero es hacer la división:
${\displaystyle \frac{x^4-3x^3+2x^2+3}{x^3-3x^2+4}}=x+{\displaystyle \frac{2x^2-4x+3}{x^3-3x^2+4}}$
Factorizamos el denominador:
$x^3-3x^2+4={(x-2)}^2(x+1)$
Y descomponemos en fracciones simples:
${\displaystyle \frac{x^4-3x^3+2x^2+3}{x^3-3x^2+4}}=x+{\displaystyle \frac{1}{x+1}}+{\displaystyle \frac{1}{x-2}}+{\displaystyle \frac{1}{{(x-2)}^2}}$
Cada sumando ya se integra directamente:
${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{x^4-3x^3+2x^2+3}{x^3-3x^2+4}}dx={\displaystyle \frac{x^2}{2}}+\ln (x^2-x-2)-{\displaystyle \frac{1}{x-2}}+C}$
Tras la división queda exactamente la integral del apartado c) de este mismo bloque.


$\mathbf{\text{c)}}$ Todavía no es racional, pero lo será con el cambio $t=e^x$:
$t=e^x⟹dt=e^{x}dx=tdx⟹dx={\displaystyle \frac{dt}{t}}$
Sustituyendo queda una racional en $t$:
${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{1}{e^x+1}}dx={\displaystyle \int {\displaystyle \frac{1}{t+1}}\cdot {\displaystyle \frac{dt}{t}}={\displaystyle \int {\displaystyle \frac{dt}{t(t+1)}}}}}$
Descomponemos en fracciones simples:
${\displaystyle \frac{1}{t(t+1)}}={\displaystyle \frac{1}{t}}-{\displaystyle \frac{1}{t+1}}$
Integramos los dos trozos:
$\ln \mid t\mid -\ln \mid t+1\mid$
Y deshacemos el cambio, recordando que $\ln e^x=x$:
${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{1}{e^x+1}}dx=x-\ln (e^x+1)+C}$


$\mathbf{\text{d)}}$ Con el cambio $t=e^x$ se convierte en racional, y además la $e^x$ del numerador es justo el $dt$:
$t=e^x⟹dt=e^{x}dx$
Como $e^{2x}={\left(e^x\right)}^2=t^2$, la integral queda:
${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{e^x}{e^{2x}-5e^x+6}}dx={\displaystyle \int {\displaystyle \frac{dt}{t^2-5t+6}}}}$
Factorizamos y descomponemos en fracciones simples:
${\displaystyle \frac{1}{t^2-5t+6}}={\displaystyle \frac{1}{(t-3)(t-2)}}={\displaystyle \frac{1}{t-3}}-{\displaystyle \frac{1}{t-2}}$
Integramos y deshacemos el cambio:
${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{e^x}{e^{2x}-5e^x+6}}dx=\ln \left(\mid e^x-3\mid \right)-\ln \left(\mid e^x-2\mid \right)+C}$