Ejercicio resuelto de Racionales · Matemáticas I

Calcular las siguientes integrales de tipo neperiano-arco tangente:

a) ${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{2x+7}{x^2+x+1}}dx}$
b) ${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{x}{x^2+2x+3}}dx}$
c) ${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{x+1}{x^2-6x+13}}dx}$
d) ${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{2x+5}{x^2-4x+13}}dx}$
e) ${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{2x+4}{x^2+4}}dx}$
f) ${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{5x^2}{x^2-4x+29}}dx}$

Cuando el denominador es un polinomio de segundo grado SIN raíces reales y arriba hay un polinomio de primer grado, la integral se parte en dos: un logaritmo y un arco tangente.
$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \int {\displaystyle \frac{f\text{\hspace{0.17em}⁣}{}^{\mathrm{\prime }}(x)}{f(x)}}dx=\ln \mid f(x)\mid +C{\displaystyle \int {\displaystyle \frac{f\text{\hspace{0.17em}⁣}{}^{\mathrm{\prime }}(x)}{1+f(x{)}^2}}dx=\mathrm{arctg}f(x)+C}}}}$
El truco es partir el numerador: se fabrica en él la derivada del denominador y lo que sobra es una constante, que da el arco tangente completando cuadrados.

$\mathbf{\text{a)}}$ La derivada del denominador es $f\text{\hspace{0.17em}⁣}{}^{\mathrm{\prime }}(x)=2x+1$, así que partimos el numerador para que aparezca:
$2x+7=1(2x+1)+6$
Con eso la integral se separa en el trozo logarítmico y el que dará el arco tangente:
${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{2x+7}{x^2+x+1}}dx=1{\displaystyle \int {\displaystyle \frac{2x+1}{x^2+x+1}}dx+6{\displaystyle \int {\displaystyle \frac{1}{x^2+x+1}}dx}}}$
La primera es un logaritmo directo. Para la segunda completamos cuadrados en el denominador:
$x^2+x+1={(x+{\displaystyle \frac{1}{2}})}^2+{\displaystyle \frac{3}{4}}$
y sacando factor común ${\displaystyle \frac{3}{4}}$ queda la forma $1+f(x{)}^2$ con $f(x)={\displaystyle \frac{x+{\displaystyle \frac{1}{2}}}{{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}}}$. Juntando las dos:
${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{2x+7}{x^2+x+1}}dx=\ln \mid x^2+x+1\mid +4\sqrt{3}\mathrm{arctg}{\displaystyle \frac{x+{\displaystyle \frac{1}{2}}}{{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}}}+C}$


$\mathbf{\text{b)}}$ La derivada del denominador es $f\text{\hspace{0.17em}⁣}{}^{\mathrm{\prime }}(x)=2x+2$, así que partimos el numerador para que aparezca:
$x={\displaystyle \frac{1}{2}}(2x+2)-1$
Con eso la integral se separa en el trozo logarítmico y el que dará el arco tangente:
${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{x}{x^2+2x+3}}dx={\displaystyle \frac{1}{2}}{\displaystyle \int {\displaystyle \frac{2x+2}{x^2+2x+3}}dx-{\displaystyle \int {\displaystyle \frac{1}{x^2+2x+3}}dx}}}$
La primera es un logaritmo directo. Para la segunda completamos cuadrados en el denominador:
$x^2+2x+3={(x+1)}^2+2$
y sacando factor común $2$ queda la forma $1+f(x{)}^2$ con $f(x)={\displaystyle \frac{x+1}{\sqrt{2}}}$. Juntando las dos:
${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{x}{x^2+2x+3}}dx={\displaystyle \frac{1}{2}}\ln \mid x^2+2x+3\mid -{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}\mathrm{arctg}{\displaystyle \frac{x+1}{\sqrt{2}}}+C}$


$\mathbf{\text{c)}}$ La derivada del denominador es $f\text{\hspace{0.17em}⁣}{}^{\mathrm{\prime }}(x)=2x-6$, así que partimos el numerador para que aparezca:
$x+1={\displaystyle \frac{1}{2}}(2x-6)+4$
Con eso la integral se separa en el trozo logarítmico y el que dará el arco tangente:
${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{x+1}{x^2-6x+13}}dx={\displaystyle \frac{1}{2}}{\displaystyle \int {\displaystyle \frac{2x-6}{x^2-6x+13}}dx+4{\displaystyle \int {\displaystyle \frac{1}{x^2-6x+13}}dx}}}$
La primera es un logaritmo directo. Para la segunda completamos cuadrados en el denominador:
$x^2-6x+13={(x-3)}^2+4$
y sacando factor común $4$ queda la forma $1+f(x{)}^2$ con $f(x)={\displaystyle \frac{x-3}{2}}$. Juntando las dos:
${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{x+1}{x^2-6x+13}}dx={\displaystyle \frac{1}{2}}\ln \mid x^2-6x+13\mid +2\mathrm{arctg}{\displaystyle \frac{x-3}{2}}+C}$


$\mathbf{\text{d)}}$ La derivada del denominador es $f\text{\hspace{0.17em}⁣}{}^{\mathrm{\prime }}(x)=2x-4$, así que partimos el numerador para que aparezca:
$2x+5=1(2x-4)+9$
Con eso la integral se separa en el trozo logarítmico y el que dará el arco tangente:
${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{2x+5}{x^2-4x+13}}dx=1{\displaystyle \int {\displaystyle \frac{2x-4}{x^2-4x+13}}dx+9{\displaystyle \int {\displaystyle \frac{1}{x^2-4x+13}}dx}}}$
La primera es un logaritmo directo. Para la segunda completamos cuadrados en el denominador:
$x^2-4x+13={(x-2)}^2+9$
y sacando factor común $9$ queda la forma $1+f(x{)}^2$ con $f(x)={\displaystyle \frac{x-2}{3}}$. Juntando las dos:
${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{2x+5}{x^2-4x+13}}dx=\ln \mid x^2-4x+13\mid +3\mathrm{arctg}{\displaystyle \frac{x-2}{3}}+C}$


$\mathbf{\text{e)}}$ La derivada del denominador es $f\text{\hspace{0.17em}⁣}{}^{\mathrm{\prime }}(x)=2x$, así que partimos el numerador para que aparezca:
$2x+4=1\left(2x\right)+4$
Con eso la integral se separa en el trozo logarítmico y el que dará el arco tangente:
${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{2x+4}{x^2+4}}dx=1{\displaystyle \int {\displaystyle \frac{2x}{x^2+4}}dx+4{\displaystyle \int {\displaystyle \frac{1}{x^2+4}}dx}}}$
La primera es un logaritmo directo. Para la segunda completamos cuadrados en el denominador:
$x^2+4={\left(x\right)}^2+4$
y sacando factor común $4$ queda la forma $1+f(x{)}^2$ con $f(x)={\displaystyle \frac{x}{2}}$. Juntando las dos:
${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{2x+4}{x^2+4}}dx=\ln \mid x^2+4\mid +2\mathrm{arctg}{\displaystyle \frac{x}{2}}+C}$


$\mathbf{\text{f)}}$ El numerador tiene el mismo grado que el denominador, así que lo primero es dividir:
${\displaystyle \frac{5x^2}{x^2-4x+29}}=5+{\displaystyle \frac{20x-145}{x^2-4x+29}}$
La derivada del denominador es $f\text{\hspace{0.17em}⁣}{}^{\mathrm{\prime }}(x)=2x-4$, así que partimos el numerador que ha quedado:
$20x-145=10(2x-4)-105$
Con lo cual la integral se separa en tres trozos:
${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{5x^2}{x^2-4x+29}}dx=5{\displaystyle \int 1dx+10{\displaystyle \int {\displaystyle \frac{2x-4}{x^2-4x+29}}dx-105{\displaystyle \int {\displaystyle \frac{1}{x^2-4x+29}}dx}}}}$
Completando cuadrados en el último denominador:
$x^2-4x+29={(x-2)}^2+25=25(1+{\left({\displaystyle \frac{x-2}{5}}\right)}^2)$
y aplicando las tres reglas:
${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{5x^2}{x^2-4x+29}}dx=5x+10\ln \left(\mid x^2-4x+29\mid \right)-21\mathrm{arctg}({\displaystyle \frac{x}{5}}-{\displaystyle \frac{2}{5}})+C}$