Ejercicio resuelto de Repaso de polinomios · Matemáticas I

Demostrar que $(a^2+b^2)(c^2+d^2)={(ac-bd)}^2+{(ad+bc)}^2$.

Se desarrollan por separado los dos miembros con la propiedad distributiva y las igualdades notables, y se comprueba que se obtiene lo mismo:
$(A+B{)}^2=A^2+2AB+B^2(A-B{)}^2=A^2-2AB+B^2$

Primer miembro. Multiplicamos los dos paréntesis:
$(a^2+b^2)(c^2+d^2)=a^2{c}^2+a^2{d}^2+b^2{c}^2+b^2{d}^2$

Segundo miembro. Desarrollamos cada cuadrado:
${(ac-bd)}^2=a^2{c}^2-2abcd+b^2{d}^2$
${(ad+bc)}^2=a^2{d}^2+2abcd+b^2{c}^2$
Al sumarlos, los términos $-2abcd$ y $+2abcd$ se cancelan:
${(ac-bd)}^2+{(ad+bc)}^2=a^2{c}^2+b^2{d}^2+a^2{d}^2+b^2{c}^2$

Los dos miembros dan la misma expresión, luego la igualdad queda demostrada. Esta identidad prueba que el producto de dos números que son suma de dos cuadrados vuelve a ser suma de dos cuadrados; por ejemplo, con $a=2,b=1,c=3,d=2$:
$(2^2+1^2)(3^2+2^2)=5\cdot 13=65$
${(2\cdot 3-1\cdot 2)}^2+{(2\cdot 2+1\cdot 3)}^2=4^2+7^2=16+49=65$.