Ejercicio resuelto de Repaso de polinomios · Matemáticas I

Efectuar los siguientes cocientes, indicando claramente el cociente $C(x)$ y el resto $R(x)$, y comprobar el resultado mediante la regla $D=d\cdot C+R$:

a) $(6x^5+5x^4+31x^2+2):(2x^2+2)$
b) $(3x^5-6x^4-x^3+10x^2-8x+2):(3x^2-6x+1)$
c) $(6x^4-x^3+2x^2-x-1):(3x^2+2)$
d) $\left(4x^4\right):(2x^2-1)$
e) $(4x^4+x^3-x+1):(2x^2-1)$

Se ordenan ambos polinomios en potencias decrecientes y, en cada paso, se divide el término de mayor grado del dividendo entre el de mayor grado del divisor; ese cociente parcial se multiplica por el divisor y se resta. Se repite mientras el grado del resto sea mayor o igual que el del divisor. La comprobación es la regla de la división:
$\boxed{{\displaystyle D(x)=d(x)\cdot C(x)+R(x)\text{grado}[R(x)]<\text{grado}[d(x)]}}$

$\mathbf{\text{a)}}$ Dividimos, término de mayor grado entre término de mayor grado:
${\displaystyle \frac{6x^5}{2x^2}}=3x^3$, y al restar queda $5x^4-6x^3+31x^2+2$
${\displaystyle \frac{5x^4}{2x^2}}={\displaystyle \frac{5x^2}{2}}$, y al restar queda $-6x^3+26x^2+2$
${\displaystyle \frac{-6x^3}{2x^2}}=-3x$, y al restar queda $26x^2+6x+2$
${\displaystyle \frac{26x^2}{2x^2}}=13$, y al restar queda $6x-24$
El grado del resto ya es menor que el del divisor, luego:
$C(x)=3x^3+{\displaystyle \frac{5x^2}{2}}-3x+13$ y $R(x)=6x-24$
Comprobamos con $D(x)=d(x)\cdot C(x)+R(x)$:
$(2x^2+2)(3x^3+{\displaystyle \frac{5x^2}{2}}-3x+13)+6x-24=6x^5+5x^4+31x^2+2$


$\mathbf{\text{b)}}$ Dividimos, término de mayor grado entre término de mayor grado:
${\displaystyle \frac{3x^5}{3x^2}}=x^3$, y al restar queda $-2x^3+10x^2-8x+2$
${\displaystyle \frac{-2x^3}{3x^2}}=-{\displaystyle \frac{2x}{3}}$, y al restar queda $6x^2-{\displaystyle \frac{22x}{3}}+2$
${\displaystyle \frac{6x^2}{3x^2}}=2$, y al restar queda ${\displaystyle \frac{14x}{3}}$
El grado del resto ya es menor que el del divisor, luego:
$C(x)=x^3-{\displaystyle \frac{2x}{3}}+2$ y $R(x)={\displaystyle \frac{14x}{3}}$
Comprobamos con $D(x)=d(x)\cdot C(x)+R(x)$:
$(3x^2-6x+1)(x^3-{\displaystyle \frac{2x}{3}}+2)+{\displaystyle \frac{14x}{3}}=3x^5-6x^4-x^3+10x^2-8x+2$


$\mathbf{\text{c)}}$ Dividimos, término de mayor grado entre término de mayor grado:
${\displaystyle \frac{6x^4}{3x^2}}=2x^2$, y al restar queda $-x^3-2x^2-x-1$
${\displaystyle \frac{-x^3}{3x^2}}=-{\displaystyle \frac{x}{3}}$, y al restar queda $-2x^2-{\displaystyle \frac{x}{3}}-1$
${\displaystyle \frac{-2x^2}{3x^2}}=-{\displaystyle \frac{2}{3}}$, y al restar queda $-{\displaystyle \frac{x}{3}}+{\displaystyle \frac{1}{3}}$
El grado del resto ya es menor que el del divisor, luego:
$C(x)=2x^2-{\displaystyle \frac{x}{3}}-{\displaystyle \frac{2}{3}}$ y $R(x)=-{\displaystyle \frac{x}{3}}+{\displaystyle \frac{1}{3}}$
Comprobamos con $D(x)=d(x)\cdot C(x)+R(x)$:
$(3x^2+2)(2x^2-{\displaystyle \frac{x}{3}}-{\displaystyle \frac{2}{3}})-{\displaystyle \frac{x}{3}}+{\displaystyle \frac{1}{3}}=6x^4-x^3+2x^2-x-1$


$\mathbf{\text{d)}}$ Dividimos, término de mayor grado entre término de mayor grado:
${\displaystyle \frac{4x^4}{2x^2}}=2x^2$, y al restar queda $2x^2$
${\displaystyle \frac{2x^2}{2x^2}}=1$, y al restar queda $1$
El grado del resto ya es menor que el del divisor, luego:
$C(x)=2x^2+1$ y $R(x)=1$
Comprobamos con $D(x)=d(x)\cdot C(x)+R(x)$:
$(2x^2-1)(2x^2+1)+1=4x^4$


$\mathbf{\text{e)}}$ Dividimos, término de mayor grado entre término de mayor grado:
${\displaystyle \frac{4x^4}{2x^2}}=2x^2$, y al restar queda $x^3+2x^2-x+1$
${\displaystyle \frac{x^3}{2x^2}}={\displaystyle \frac{x}{2}}$, y al restar queda $2x^2-{\displaystyle \frac{x}{2}}+1$
${\displaystyle \frac{2x^2}{2x^2}}=1$, y al restar queda $-{\displaystyle \frac{x}{2}}+2$
El grado del resto ya es menor que el del divisor, luego:
$C(x)=2x^2+{\displaystyle \frac{x}{2}}+1$ y $R(x)=-{\displaystyle \frac{x}{2}}+2$
Comprobamos con $D(x)=d(x)\cdot C(x)+R(x)$:
$(2x^2-1)(2x^2+{\displaystyle \frac{x}{2}}+1)-{\displaystyle \frac{x}{2}}+2=4x^4+x^3-x+1$