Ejercicio resuelto de Repaso de polinomios · Matemáticas I

Efectuar los siguientes cocientes, indicando claramente el cociente $C(x)$ y el resto $R(x)$, y comprobar el resultado mediante la regla $D=d\cdot C+R$:

a) $(x^5-2x^4+3x^2-6):(x^4+1)$
b) $\left(x^2\right):(x^2+1)$
c) $(3x^6+2x^4-3x^2+5):(x^3-2x+4)$
d) $\left(x^8\right):(x^2+1)$
e) $(x^3-4x^2+5x-8):(x-2)$
f) $(2x^5+3x^2-6):(x+3)$

Se ordenan ambos polinomios en potencias decrecientes y, en cada paso, se divide el término de mayor grado del dividendo entre el de mayor grado del divisor; ese cociente parcial se multiplica por el divisor y se resta. Se repite mientras el grado del resto sea mayor o igual que el del divisor. La comprobación es la regla de la división:
$\boxed{{\displaystyle D(x)=d(x)\cdot C(x)+R(x)\text{grado}[R(x)]<\text{grado}[d(x)]}}$

$\mathbf{\text{a)}}$ Dividimos, término de mayor grado entre término de mayor grado:
${\displaystyle \frac{x^5}{x^4}}=x$, y al restar queda $-2x^4+3x^2-x-6$
${\displaystyle \frac{-2x^4}{x^4}}=-2$, y al restar queda $3x^2-x-4$
El grado del resto ya es menor que el del divisor, luego:
$C(x)=x-2$ y $R(x)=3x^2-x-4$
Comprobamos con $D(x)=d(x)\cdot C(x)+R(x)$:
$(x^4+1)(x-2)+3x^2-x-4=x^5-2x^4+3x^2-6$


$\mathbf{\text{b)}}$ Dividimos, término de mayor grado entre término de mayor grado:
${\displaystyle \frac{x^2}{x^2}}=1$, y al restar queda $-1$
El grado del resto ya es menor que el del divisor, luego:
$C(x)=1$ y $R(x)=-1$
Comprobamos con $D(x)=d(x)\cdot C(x)+R(x)$:
$(x^2+1)\left(1\right)-1=x^2$


$\mathbf{\text{c)}}$ Dividimos, término de mayor grado entre término de mayor grado:
${\displaystyle \frac{3x^6}{x^3}}=3x^3$, y al restar queda $8x^4-12x^3-3x^2+5$
${\displaystyle \frac{8x^4}{x^3}}=8x$, y al restar queda $-12x^3+13x^2-32x+5$
${\displaystyle \frac{-12x^3}{x^3}}=-12$, y al restar queda $13x^2-56x+53$
El grado del resto ya es menor que el del divisor, luego:
$C(x)=3x^3+8x-12$ y $R(x)=13x^2-56x+53$
Comprobamos con $D(x)=d(x)\cdot C(x)+R(x)$:
$(x^3-2x+4)(3x^3+8x-12)+13x^2-56x+53=3x^6+2x^4-3x^2+5$


$\mathbf{\text{d)}}$ Dividimos, término de mayor grado entre término de mayor grado:
${\displaystyle \frac{x^8}{x^2}}=x^6$, y al restar queda $-x^6$
${\displaystyle \frac{-x^6}{x^2}}=-x^4$, y al restar queda $x^4$
${\displaystyle \frac{x^4}{x^2}}=x^2$, y al restar queda $-x^2$
${\displaystyle \frac{-x^2}{x^2}}=-1$, y al restar queda $1$
El grado del resto ya es menor que el del divisor, luego:
$C(x)=x^6-x^4+x^2-1$ y $R(x)=1$
Comprobamos con $D(x)=d(x)\cdot C(x)+R(x)$:
$(x^2+1)(x^6-x^4+x^2-1)+1=x^8$


$\mathbf{\text{e)}}$ Dividimos, término de mayor grado entre término de mayor grado:
${\displaystyle \frac{x^3}{x}}=x^2$, y al restar queda $-2x^2+5x-8$
${\displaystyle \frac{-2x^2}{x}}=-2x$, y al restar queda $x-8$
${\displaystyle \frac{x}{x}}=1$, y al restar queda $-6$
El grado del resto ya es menor que el del divisor, luego:
$C(x)=x^2-2x+1$ y $R(x)=-6$
Comprobamos con $D(x)=d(x)\cdot C(x)+R(x)$:
$(x-2)(x^2-2x+1)-6=x^3-4x^2+5x-8$


$\mathbf{\text{f)}}$ Dividimos, término de mayor grado entre término de mayor grado:
${\displaystyle \frac{2x^5}{x}}=2x^4$, y al restar queda $-6x^4+3x^2-6$
${\displaystyle \frac{-6x^4}{x}}=-6x^3$, y al restar queda $18x^3+3x^2-6$
${\displaystyle \frac{18x^3}{x}}=18x^2$, y al restar queda $-51x^2-6$
${\displaystyle \frac{-51x^2}{x}}=-51x$, y al restar queda $153x-6$
${\displaystyle \frac{153x}{x}}=153$, y al restar queda $-465$
El grado del resto ya es menor que el del divisor, luego:
$C(x)=2x^4-6x^3+18x^2-51x+153$ y $R(x)=-465$
Comprobamos con $D(x)=d(x)\cdot C(x)+R(x)$:
$(x+3)(2x^4-6x^3+18x^2-51x+153)-465=2x^5+3x^2-6$